这是代数姿势的等效条件吗？

连续格和域中的“代数位姿” 定义I-4.2表示，对于所有， $x \in L$

集合应该是有向集合，并且 $A(x) = {\downarrow} x \cap K(L)$
$x = \bigsqcup ({\downarrow} x \cap K(L)$ 。

这里是一个偏序集，是该组的紧凑元件的，和装置。 $L$ $K(L)$ $L$ ${\downarrow} x$ $\{y \mid y \sqsubseteq x\}$

我对第一个条件感到有些惊讶。很容易证明，如果和在则也在。因此，所有非空有限子集都具有上限。唯一的问题是，空子集是否在其中具有上限，即，是否为非空。所以， $k_1$ $k_2$ $A(x)$ $k_1 \sqcup k_2$ $A(x)$ $A(x)$ $A(x)$

将第一个条件替换为为非空可以吗？ $A(x)$
为空的情况的一个例子是什么？ $A(x)$

添加了注释：A（x）中的怎么样？首先，由于和，我们有。其次，和是紧凑的。因此，任何超出它们的有向集都必须“通过”它们。假设有向集合也超出了，即。由于它已经超过了和，因此它必须已经通过它们，即存在元素使得和 $k_1 \sqcup k_2$ $k_1 \sqsubseteq x$ $k_2 \sqsubseteq x$ $k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq x$ $k_1$ $k_2$ $u$ $k_1 \sqcup k_2$ $k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq \bigsqcup u$ $k_1$ $k_2$ $y_1, y_2 \in u$ $k_1 \sqsubseteq y_1$ $k_2 \sqsubseteq y_2$ 。由于是有向集合，因此它必须具有和，即。现在，。这表明是紧凑的。这两部分一起表示。 $u$ $y_1$ $y_2$ $y$ $k_1 \sqcup k_2 \sqsubseteq y \in d$ $k_1 \sqcup k_2$ $k_1 \sqcup k_2 \in A(x)$

domain-theory

— 乌代·雷迪（Uday Reddy）
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您说：“如果k1和k2在A（x）中，那么k1⊔k2也在A（x）中” —您如何证明这一点？

— Artem Pelenitsyn 2014年

@ArtemPelenitsyn：我已经在问题中添加了论点。

— Uday Reddy 2014年

如果我弄错了，请纠正我，但是：在您的笔记中，您假设k在L中存在k1⊔k2。但是L只是一个位姿，而不是有向集，因此您不能这样做。

— Artem Pelenitsyn 2014年

我还发现以下事实：有条件的完整cpo中的第二个条件就足够了：homepages.inf.ed.ac.uk/libkin/papers/alcpo.pdf（第1页）

— Artem Pelenitsyn 2014年

@ArtemPelenitsyn。很好，非常感谢。警惕隐藏的假设！

— Uday Reddy 2014年

为空的示例是具有常规顺序的实数集。它根本没有紧凑的元素。 $A(x)$ $\mathbb{R}$

如果我们假设第二个条件，则不能为空：如果，则第二个条件是空联接，因此的最小元素是紧凑的，因此，一个矛盾。 $A(x)$ $A(x) = \emptyset$ $x$ $L$ $x \in A(x) = \emptyset$

您提出的用非空替换第一个条件的建议不起作用。考虑偏序它由两个拷贝和，在这里我们写和用于的两个副本，依排序： $L$ $\mathbb{N}$ $\infty$ $\iota_1(n)$ $\iota_2(n)$ $n$

$\iota_1(m) \leq \iota_1(n) \iff m \leq n$
$\iota_2(m) \leq \iota_2(n) \iff m \leq n$
$x \leq \infty$ 对于所有。 $x$

换句话说，我们有两个无可比拟的链条，具有共同的至高无上。除了之外，所有元素都是紧凑的。现在： $\infty$

${\downarrow}x \cap K(L) \neq \emptyset$ ，显然。
$x = \bigvee ({\downarrow}x \cap K(L))$ 显然。
集合是没有方向的。 ${\downarrow}\infty \cap K(L) = \mathbb{N} + \mathbb{N}$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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凉。很好的例子！

— Uday Reddy 2014年