图灵机的端接无法证明？

我有一个幼稚的问题：是否存在一种图灵机，其终止是正确的，但无法通过任何自然，一致且可有限公理化的理论来证明？我只要求存在证明而不是具体示例。

这可能与顺序分析有关。确实，对于图灵机 $M$ ，我们可以定义 $O(M)$ 作为证明其终止（或这些序数的最小值）的一致理论的最小序数。所以我想问问是否存在 $M$ 这样 $O(M) \geq \omega_1^{CK}$ ？

turing-machines proof-theory halting-problem

— 速8
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量化不应该相反吗？简单地将TM X停止作为公理添加，对于所有实际上在所有输入上停止的X都是一致的（如果仅对有问题的TM这样做，则为有限）。当量词取反时，如果输入不是公理系统的一致性证明而停止输入，而进入无限循环，则TM会停顿。

— Yonatan N

您的建议很有趣，谢谢。在提出问题时，我意识到您的担忧，这就是为什么我在要求中添加“自然”的原因。当然，问题在于我们是否可以给出排除自然现象的“自然”的正式定义。

— Super8 2014年

认为答案是否定的，因为如果它停止运行，那么只要运行机器，它就会在有限的步骤中停止，那就是证明，这一事实可以转换为任何功能强大的证明系统。另一方面，认为可以将godel不可证明的thm编码/转换/翻译成不可停止的不可停止机器。这个问题是类似的，是否有一个TM会停止所有输入但该属性不可证明 cs.se

— vzn

您可以构造图灵机

M

$M$ 计算古德斯坦序列的

G (n)

$G(n)$ 输入的

n

$n$ 并在到达时停止

0

$0$ 。停止

M

$M$ 无法用Peano算术证明；即，古德斯坦定理不能用Peano算术公理证明。参见 Laurie Kirby，Jeff Paris，Peano算术的可访问独立性结果（1982年）

— Marzio De Biasi 2014年

谢谢，我不知道这些条目。不过，我要问的是更强的，我想对任何合理的理论（而不是诸如PA之类的特定理论）都具有不可证明性。我不确定这个问题是否有明确的答案。

— Super8 2014年

Answers:

图灵机的终止（在固定输入上）是 $\Sigma^0_1$ 句子和所有常见的一阶算术理论均已完成 $\Sigma^0_1$ 句子，即全部正确 $\Sigma^0_1$ 这些理论中的陈述是可以证明的。

如果您查看总体而不是暂停，即所有输入上的TM都暂停，那么这就是 $\Pi^0_2$ -完整的句子，以及任何足够强大的可计算的，可公理化的一致理论（例如罗宾逊氏 $Q$ 理论），有一个TM不能在该理论中得到证明。

— 卡韦
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是的，我一直在寻找整体，因为对于固定的输入量，问题当然是微不足道的。我会考虑您的主张以及如何证明它，但是在这一点上，我不认为考虑“可公理化”的理论如何排除上述问题？另外，在您的陈述中，TM取决于所考虑的理论，我们是否可以通过某种对角线化得到我更强的陈述？

— Super8 2014年

这是一个简单的方法：这样一个理论的可证明的总可计算函数的集合是ce，不是可计算的总可计算函数的集合，或者您可以对着该理论的可证明的总函数对角线化。

— 卡夫

再三考虑，我建议考虑如下限制问题。给定序数表示法

σ

$\sigma$ 代表序数

α

$\alpha$ ，我们可以定义一个对应的“基本理论”

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ 允许超限感应到

α

$\alpha$ 。给定一个TM

M

$M$ ，然后我们将定义

O (M)

$O(M)$ 作为最小序数

α

$\alpha$ 这样终止

M

$M$ 可以用理论证明

T (α, σ)

$\mathcal{T}(\alpha,\sigma)$ （即可以自由选择符号系统）。这个定义有意义吗？

— Super8

@ Super8，我不确定。通常，序数与理论的关联不是规范的，可以通过多种方式进行关联。您可以从PRA之类的弱理论开始，然后在具有良好基本序列等的可计算序数上添加归纳法，但是我不确定您为什么要这么做。

— 卡夫2014年

好的，我还没有意识到问题，那么我将尝试自己找到一个更好的定义。

— Super8 2014年

我不是逻辑专家，但我相信答案是否定的。如果Turing机器停止运行，并且系统足够强大，则您应该应该能够在其输入上写出Turing机器的完整计算历史记录。当人们确认计算的结果是过渡的终止序列时，就可以看到机器停止了。无论您在理论上如何形式化图灵机，您都应该能够在任何合理的理论中证明停机的机器实际上确实在停机。以类推的方式，请考虑尝试证明有限和等于它等于什么；例如，证明5 + 2 + 3 + 19 + 7 + 6 = 42或5 + 5 + 5 = 15。只要步数是有限的，这总是可能的，那么证明有限计算的结果也是如此。

还有一个明显的观点-即使您的理论不一致，您仍然可以证明机器停止了运行，即使实际上没有停止，因为您可以证明不一致的理论中的任何wff，无论它是否是一致的实际上是真的。

— 菲利普·怀特
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我同意您的第一点，请参阅下面的答复。关于您的第二点，不一致的理论也将证明（实际上是非终止的）TM的终止，从而限制了一致的理论。

— Super8 2014年

我想我们在说同样的话；我只是注意到您在问题中说“一致”，对不起，我很抱歉。我认为Kaveh的答案涵盖了所有相同的内容，并且无论如何写得都比较优美。

— 菲利普·怀特