存在用于线性规划的强多项式算法的后果？

算法设计的一个重要方面是找到一种用于线性规划的强多项式算法，即一种算法，其运行时间在变量和约束的数量上由多项式来界定，并且与参数表示的大小无关（假设单位成本算法）。解决这个问题是否会对线性编程的更好算法产生影响？例如，这种算法的存在/不存在会对几何或复杂性理论产生任何影响吗？

编辑：也许我应该澄清后果的意思。我正在寻找数学上的后果或有条件的结果，这些暗示现在已经是正确的。例如：“针对BSS模型中LP的多项式算法将分离/折叠代数复杂度类别FOO和BAR”，或“如果没有强多项式算法，那么它将解决有关多位点的此类猜想”或“强多项式算法问题，X可以配制成LP将有有趣的结果等等 ”。Hirsch猜想将是一个很好的例子，除了它仅在单纯形为多项式的情况下适用。

— 伊恩
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不用说，就长期影响而言，用于证明这一结果的证明技术可能比结果更有趣。

— Suresh Venkat 2010年

Answers:

这表明平价和均值博弈在P中。请参见Sven Schewe。从奇偶校验和收益游戏到线性规划。MFCS 2009。

— 拉胡尔·萨瓦尼（Rahul Savani）
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优秀。我希望我可以给多个+1。这是一个非常酷的结果。

— Suresh Venkat 2010年

有人可以详细说明LP的强多项式算法将如何暗示这一点吗？Schewe用双指数大数构建LP的多项式大小的实例。精细。现在，我们在其上运行强多项式时间算法。但是我们是否不需要模拟该算法进行的算术运算？如何在不花费超多项式时间的情况下完成仿真？（回想一下数字是双倍的；我猜一个人可以做余数运算，但是我们可以在多项式时间内用这种方法比较数字吗？）。

— slimton 2010年

我尚未仔细阅读本文，但据我了解，他们只是证明问题出在Real RAM / BSS模型中（P. en.wikipedia.org/wiki/Blum%E2%80%93Shub%E2 ％80％93Smale_machine），而不是P的普通版本。您可以定义任何环R上的计算模型（请参阅ams.org/notices/200409/fea-blum.pdf）。在

之上，我们得到普通的图灵机，在

之上，我们得到BSS模型。每个环具有其自己的版本的P，这可能不等于标准P.

Z_{2}

$\mathbb{Z}_2$

R

$\mathbb{R}$

— 伊恩

澄清一下我以前的评论：如果存在针对LP的强多项式算法，则BSS模型中为多项式，在这种情况下，本文暗示了BSS模型中的奇偶校验和收益博弈也位于P中。

— 伊恩

@Ian：换句话说：这个答案有点误导（但这并没有阻止您接受它作为有效答案）。

— slimton 2010年

这取决于答案。如果创建的算法具有运行时间，则影响很小。另一方面，如果它导致解决LP的新方法，则可能会产生巨大的影响。例如，如果我正确记得历史记录（我可能完全错了 $(d n)^{Ackerman(10000)}$ ）（例如椭圆形算法），除了其理论意义外，还导致了内部点方法的发展，在某些情况下，它比单纯形算法要快。这实际上导致了显着的加速，因为这两种方法都被限制为可以完成的最大限制。

— 萨里尔·哈皮德（Sariel Har-Peled）
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但是这些条件几乎可以满足任何理论上的结果：根据运行时间的不同，它可能有用也可能没有用，结果中的技术/想法可能会带来未来的进步。

— 伊恩

并不是的。如果某种形式的Hirsch猜想是正确的，并且证明是有建设性的，那么它几乎肯定会导致LP的更快求解器。简而言之，如果问题是特定的，则其含义是明确的；如果问题是广泛的，则可能无济于事。或者换句话说，多项式时间算法对LP的唯一确定的结果就是我们将比现在更好地理解问题。

— Sariel Har-Peled 2010年

这是几何的一个结果：对于单纯形算法的任何变体（随机或确定性），强多项式界都意味着在任何多边形图的直径上都具有多项式界。这意味着赫希猜想的“多项式” 是正确的。

— 湿婆金塔利
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但是没有理由相信用于LP的强多项式时间算法必须通过单纯形法进行。迄今为止，最著名的方法（次指数）使用随机采样+递归策略。

— Suresh Venkat 2010年

哎呀。我错过了重点。

— 席瓦·金塔利

仅当单纯形为强多项式时才成立。我正在寻找更普遍的结果。可能多项式Hirsch猜想是错误的，而另一种算法是强多项式，或者多项式Hirsch猜想是正确的，而单纯形是指数的，因为它无法在多项式时间内找到短路径。

— 伊恩

@Suresh：实际上，我很确定您提到的次指数随机抽样+递归策略（Clarkson-Matoušek-Sharir-Welzl/ Kalai，对吗？）是对偶单纯形算法。（但这与您的观点并不矛盾。）

— Jeffε10年

等一下。很久以前，Michael Goldwasser在SIGACT文章中没有做到这一点吗？嗯现在我需要去挖掘。

— Suresh Venkat 2010年