在简单类型的lambda演算上确定函数相等性的算法？

我们知道，简单类型的lambda项的beta等式是可以确定的。给定M，N：σ→τ，是否对于所有X：σ， $≃_β$ ？

— 玛雅·维克多
source

简单键入Lambda演算/ STLC维基百科。由于图灵尚未完成，因此还有其他等效的基本计算模型吗？研究停止检测算法也可能很有用，根据Wikipedia的判断，STLC可以决定...

— vzn 2014年

@Marzio：实际上，我认为这里的问题在于问题的表达方式，这是非常不准确的。正确制定后，这是一个研究水平的问题。更好的表述是：我们知道简单键入的lambda项的beta相等是可以决定的。给定

M, N : σ \to τ

$M,N:\sigma\rightarrow\tau$ ，是否

是否所有

X : σ

$X:\sigma$ ，

M X ≃_{β} N X

$MX\simeq_\beta NX$ ？答案通常是否定的（因此不存在诸如Viclib寻求的算法）。尽管也许可以预料，但这并不是先验的先验，而是90年代几篇论文的结果。

— Damiano Mazza 2014年

@DamianoMazza：好的，的确，我没有投票关闭它……我将删除我的评论，留下您的评论，然后等待OP的评论/编辑。

— Marzio De Biasi 2014年

@DamianoMazza和Marzio，我不足够提出这样一个正式的问题。虽然我希望我做到了，但这不是我在学校中学到的东西。实际上，即使我搜索“ beta平等”（实际上是我在问这个问题之前就尝试过），也给我带来的结果很少，几乎就像这个词根本不存在一样。所以我什至不知道您在哪里学习和了解所有这些内容。你们能请我指出正确的地方开始自我学习这个话题吗？问题已更新。

— MaiaVictor 2014年

@Viclib：beta等效性是一个技术概念，我避免在回答中提及它。大致而言，当两个术语产生相同的结果时，它们等效于β。因此，对所有说意味着和计算相同的函数。关于学习（有类型的或无类型的）lambda演算的指针，我认为Peter Selinger的笔记以及Curry-Howard的 Sørensen和Urzyczyn 讲义是很好的起点。

M X ≃_{β} N X

$MX\simeq_\beta NX$

X

$X$

M

$M$

N

$N$

— Damiano Mazza 2014年

正如我在评论中说的那样，答案通常是“否”。

要理解的重要一点（我对Viclib讲过这一点，他似乎正在学习这些东西）是拥有一种编程语言/一组计算机，其中所有程序/计算都绝不终止，这意味着函数相等（即，是否两个程序/机器计算相同的功能）是可以确定的。举一个简单的例子：拿一套多项式图灵机。根据定义，所有此类机器都终止于所有输入。现在，给定任意图灵机凡，有一个图灵机的是，在给定的输入字符串，会模拟在固定输入（例如，空字符串）上计算步骤，并接受是否最多终止 $M$ $M_0$ $x$ $|x|$ $M$ $M$ $|x|$ 步骤，否则拒绝。如果是总是立即拒绝的图灵机，则和都（显然）都是多项式时钟，但是如果我们可以确定和是否计算相同的功能（或者在这种情况下，确定相同的语言），我们将能够确定（记住，这是一个任意的图灵机）是否在空字符串上终止。 $N$ $M_0$ $N$ $M_0$ $N$ $M$

在简单类型 -calculus（STLC）的情况下，类似的论点起作用，不同的是，衡量STLC的表达能力并不像上面的情况那么简单。当我写评论时，我想到了Hillebrand，Kanellakis和Mairson于90年代初发表的几篇论文，这些论文表明，通过使用比通常的Church整数类型更复杂的类型，可以在STLC中编码足够复杂以上参数的计算工作。实际上，我现在看到所需的材料已经存在于Mairson的Statman定理的简化证明中： $\lambda$

哈里·梅尔森（Harry G. Mairson），斯坦曼定理的简单证明。《理论计算机科学》，103（2）：387-394，1992年。（可在此处在线获取）。

在该论文中，Mairson显示，对于任何图灵机，都有一个简单类型和一个项编码的转换函数。（如果考虑到STLC在Church整数上的表达能力极差，那么这不是先验的先验。确实，Mairson的编码不是即时的）。由此，构建一个术语并不难 $M$ $\sigma$ $\lambda$ $\delta_M:\sigma\rightarrow\sigma$ $M$

$t_M:\mathtt{nat}[\sigma]\rightarrow\mathtt{bool}$

（其中是中教会整数类型的实例化），如果在以下情况下最多以步终止，则减少为。输入空字符串，否则减少为。如上所述，如果我们能够确定表示的是常量函数，则空字符串上的终止。 $\mathtt{nat}[\sigma]$ $\sigma$ $t_M\,\underline{n}$ $\underline{1}$ $M$ $n$ $\underline{0}$ $t_M$ $\underline{0}$ $M$

— 达米亚诺·马扎（Damiano Mazza）
source

也有可能在STLC中使用多元多项式函数的编码，然后诉诸Matiyasevich定理。

— 2014年

因此，STLC尚未完全完善，但功能强大到足以编码图灵机的转换功能！那么，图灵机可以定义为磁带以及在其上运行的STLC程序吗？

— MaiaVictor 2014年

@Viclib：考虑一下：模拟任意图灵机的一个步骤不需要太多的计算能力。基本上，您只需要有限的数据类型（使用if-then-else），列表（使用基本操作：cons，tail等）和有序对。（实际上，Extended Church-Turing论文声称这种低复杂度对于每个合理的机器模型都是常见的）。STLC缺少的是能够独立于输入而自由运行TM转换的能力：它只能对输入进行迭代，使其次数等于输入大小的指数塔（请参阅Mairson的论文）。

— Damiano Mazza 2014年

@cody：谢谢，我不知道那篇论文。我猜你是对的。

— Damiano Mazza 2014年