lambda演算对计算理论领域有什么贡献？

我只是在阅读lambda演算以“了解它”。我认为它是图灵机的另一种计算形式。这是一种有趣的用功能/约简做事的方式（简而言之）。一些问题一直困扰着我：

• Lambda微积分的意义是什么？为什么要经历所有这些功能/减少？什么目的？
• 结果，我不得不怀疑：lambda微积分到底是做什么来推动CS理论的？是什么使我有一个“哈哈”的时刻来了解其存在的必要性？
• 为什么关于自动机理论的文章中没有涵盖lambda演算？常见的途径是遍历各种自动机，语法，图灵机和复杂性类。Lambda演算仅包含在SICP样式课程的课程提纲中（也许不？）。但是我很少看到它是CS核心课程的一部分。这是否意味着它不那么有价值？也许不是，也许我在这里错过了一些东西？

我知道函数式编程语言基于lambda演算，但我不认为这是有效的贡献，因为它是在我们拥有编程语言之前就创建的。那么，了解/理解lambda演算的真正意义是什么，它对理论的应用/贡献呢？

演算具有两个关键作用。$\lambda$

• 它是顺序，功能，高阶计算行为的简单数学基础。

• 它是构造逻辑中证明的表示。

这也称为Curry-Howard对应。连带的双视图演算作为证明和（顺序，功能，高阶）的编程语言，通过的代数手感加强λ演算（这不是由图灵机共享），具有导致大规模技术转让在逻辑，数学基础和编程之间。这种转移仍在进行，例如在同伦类型理论中。特别是没有λ的情况下，一般编程语言尤其是打字学科的开发是不可想象的 $\lambda$$\lambda$$\lambda$-结石。大多数编程语言都应归功于Lisp和ML（例如，为Lisp发明了垃圾回收），它们是微积分的直接后代。受到λ微积分影响很大的第二项工作是 交互式证明助手。$\lambda$$\lambda$

是否需要知道微积分才能成为有能力的程序员，或者甚至是计算机科学的理论家？不。如果您对具有高阶功能的类型，验证和编程语言不感兴趣，那么它可能是一种计算模型，对您而言并不是特别有用。特别是，如果你有兴趣的复杂性理论，那么 λ演算大概不是因为基本的还原步骤的理想模型（λ X 。中号）ñ → β中号[ ñ / X ]功能强大：它可以使任意数量N上的副本，所以 → $\lambda$$\lambda$

有关微积分历史的百科全书概述，请参阅Cardone和Hindley撰写的Lambda微积分历史和组合逻辑。$\lambda$

我认为微积分对这一领域做出了许多贡献，并且仍然对此做出了贡献。以下是三个示例，但这并不详尽。由于我不是λ微积分专家，因此我肯定会错过一些要点。$\lambda$$\lambda$

• 首先，我认为使用不同的计算模型来表示完全相同的函数集是Church-Turing论文的起源，并且微积分以及Turing机器和μ-递归函数起着重要作用。$\lambda$$\mu$

• 第二，关于函数式编程语言，我不认为这是无效的贡献：基本上，我们所有的计算模型都是在计算机科学发生任何事情之前就发明的！因此，演算带来了另一种计算观点，在某种意义上与图灵机正交，这在编程语言领域（属于计算理论领域的一部分）非常有益。$\lambda$

• 最后，作为一个更具体的示例，我想到了隐式计算复杂性，它旨在通过专用语言来表征复杂性类。诸如贝兰托尼-库克定理之类的第一个结果是用递归函数表示的，但是最近的结果使用了λ-微积分的词汇和技术。有关更多信息和提示，请参见“ 隐式计算复杂性简介 ”，或DICE研讨会的会议记录。$\mu$$\lambda$

除了在所有其他答案中都提到的微积分的基本作用之外，我还想在$\lambda$

lambda演算究竟是做什么来促进CS理论的？

我相信并发理论是CS的一个领域，受到Martin Berger提到的组合视图的极大影响。当然，演算本身不是并发语言，但是其“代数精神”渗透到现代过程计算的定义和发展中。我认为可以说，过程代数比自动机和Turing机器更是λ演算的后代，而且，一般而言，如果不引入λ演算，并发理论将不再是今天。$\lambda$$\lambda$$\lambda$

除了并发之外，我很高兴看到其中一个答案中提到了隐式计算复杂性（ICC）（这是我个人参与的领域）。但是，必须指出的是，到目前为止，ICC在CS语言中除了编程语言和软件验证以外都没有用。这只是一个更一般情况的例子：在演算基础上并且以“理论B”为主导的模块化，组合，高度结构化的计算视图似乎对“理论A”中关注的深层问题没有多大了解。对我来说，为什么如此是一个有趣的同时又令人沮丧的反思主题。（有关相关讨论，请参见此问题）。$\lambda$

（作为一个旁注，我要说的是，由于微积分与证明理论（Curry-Howard）的紧密联系，它甚至在CS“适当”范围之外，特别是在集合论中，也具有有趣的应用。我特别提到对于最近关于古典可实现性的工作，Jean-Louis Krivine（以及现在的其他一些人，例如Alexandre Miquel，在他的网页上找到的演讲是对该主题的出色介绍）从2000年代开始开发的研究程序。从模型理论的角度来看，经典可实现性可以看作是Cohen强迫的“非可交换”概括，产生了用强迫无法获得的集合论模型。$\lambda$

您的问题可以从许多方面解决。我想把历史和哲学方面放在一边，并解决您的主要问题，我想就是这样：

Lambda微积分的意义是什么？为什么要经历所有这些功能/减少？

布尔代数，关系代数，一阶逻辑或类型理论或其他数学形式主义/理论的意义是什么？答案是他们没有，即使他们的设计师出于某种目的而创建它们固有的目的。莱布尼兹（Leibniz）在建立布尔代数（Boolean Algebra）的基础时，就想到了某些哲学项目。布尔出于自己的原因对其进行了研究。de Morgan在关系代数方面的工作也受到他各种项目的推动。皮尔斯和弗雷格有创建现代逻辑的动机。

关键是：无论教会在创建Lambda演算时可能出于什么原因，Lambda演算的要点因一名从业者而异。

• 对某人而言，这是一种方便的表示法谈论计算。图灵机的替代品，依此类推。

• 另一个方面，它是构建更复杂的编程语言（例如McCarthy，Stanley）的坚实的数学基础。

• 对于第三方来说，这是提供自然语言和编程语言（例如Montague，Fitch，Kraztzer）语义的严格工具。

我认为Lambda演算是一种形式的语言，值得为自己着想。您可以了解以下事实：在无类型的lambda演算中，我们有这些称为“ Y组合”的小野兽，它们如何帮助我们定义递归函数并使不确定性证明如此优雅和简单。您可以了解到一个令人惊奇的事实，即简单键入的lambda演算与一种直觉逻辑之间有着密切的对应关系。还有许多其他有趣的主题需要探索（例如，我们应该如何赋予语义 lambda演算？如何将lambda演算转换为像FOL这样的演绎系统？）

查阅Hindley＆Seldin的“组合器简介和λ微积分 ”以获取简介。Barendregt的《The Lambda Calculus》是圣经，因此，如果您被Hindley＆Seldin迷住了，那么您将可以探索很多具有语义和句法性质的主题。

图灵认为，数学可以简化为从有限集合中选择的读/写符号的组合，并可以在有限数量的心理“状态”之间切换。他在《图灵机》中对此进行了纠正，在图灵机中，符号记录在磁带上的单元格中，并且自动机可以跟踪状态。

但是，图灵的机器并不是这种减少的建设性证据。他争辩说，任何“有效程序”都可以由图灵机实现，并表明通用图灵机可以实现所有其他这些机，但他实际上并未给出实现数学的一组符号，状态和更新规则。按照他的说法。换句话说，他没有提出带有标准符号集的“标准图灵机”，我们可以用它来写下数学。

另一方面，Lambda微积分正是这样。教会专门试图统一用来写下我们的数学的符号。一旦证明LC和TM等效，我们就可以将LC用作我们的“标准图灵机”，并且每个人都可以阅读我们的程序（理论上，这是不错的选择）。

现在，我们可以问为什么将LC视为原始语言而不是TM方言？答案是LC的语义是指称的：LC术语具有“内在”的含义。有教堂数字，有加法，乘法，递归等功能。这使LC与（正式）数学的实现方式非常一致，这就是为什么许多（功能）算法仍直接在LC中呈现的原因。

另一方面，TM程序的语义是可操作的：其含义被定义为机器的行为。从这个意义上讲，我们不能切掉一部分磁带并说“这是加法”，因为它是上下文相关的。碰到磁带的那部分时，机器的行为取决于机器的状态，长度/偏移量/等。参数，结果将使用多少磁带，以前的操作是否破坏了该磁带的部分，等等。这是一种可怕的工作方式（“没人想对图灵机进行编程”），这就是为什么许多（命令式）算法都以伪代码的形式出现。

其他答案也不错，这里考虑的另一个角度/原因是与其他对象啮合，但可能更加确定，但是由于旧时的起源在时光流逝中有些失落，因此可能更难牢记：

历史优先！

Lambda演算至少在1932年引入以下参考文献中：

• A.教会，“逻辑基础的一组假设”，《数学年鉴》，系列2，33：346-366（1932）。

在图灵机是在引进〜1936年，所以演算早于TM通过几年的外观！

• 图灵（1936年）。“关于可计算数字，并应用于Entscheidungs问题”。伦敦数学学会学报。2（1937）42：230–265。doi：10.1112 / plms / s2-42.1.230

因此换句话说，一个基本的答案是Lambda微积分在许多方面都是TCS 的终极遗留系统。它仍然与Cobol大致相同，尽管该语言没有进行太多的新开发！它似乎是最早引入的图灵完备计算系统，甚至早于图灵完备性的基本思想。只是后来的回顾性分析表明，Lambda微积分，图灵机和邮政对应问题是等效的，并引入了图灵等效的概念和教会图灵论文。

Lambda演算只是将逻辑表示为数学定理和逻辑公式推导等方面的一种研究逻辑中心 pov的简单方法。它也显示了计算与递归之间的深层联系，以及与数学归纳的进一步紧密耦合。

这是一个有点了不起的事实，因为它表明计算的（至少是理论上的）起源从根本上讲是逻辑/数学，这是戴维斯在他的《逻辑/数学家的引擎》一书中详细介绍/扩展的论文。电脑。（当然，布尔代数的起源和基本作用也进一步加强了这种概念上的历史框架。）

因此，引人注目的是，甚至有人可能会说Lambda演算有点像用于探索计算起源的教学时间机器！

我刚刚遇到了这个帖子，尽管我的帖子在一天（一年之后）中很晚，但我认为也许“我的一分钱”可能有用。

在大学学习这个学科时，我对此有类似的想法。因此，我向讲师提出了“为什么”的问题，回答是：“编译器”。她一提到它，还原的强大功能以及评估如何最好地操作它的艺术突然就成为了为什么它仍然是潜在有用工具的全部目的。

好吧，可以这么说是我的“啊哈”时刻。

在我看来，我们经常认为高级语言，模式，自动机，算法复杂性等很有用，因为我们可以将它们与手头的“任务”联系起来。而lamdba演算似乎有点抽象。但是，仍然有一些人在较低的语言水平上工作-我认为lambda演算，对象演算和其他相关的形式化帮助他们理解并开发了新的理论和技术，普通程序员可以从中受益。的确，出于这个原因，它可能不是核心模块，但是（由于我已经陈述的原因），除了学者以外，还会有少数人会发现它是他们选择的计算机职业道路不可或缺的一部分。