为什么Coq有Prop？

Coq具有类型Prop的证明无关命题，在提取过程中将其丢弃。如果我们仅将Coq用于证明，则有此原因是什么？Prop是强制性的，因此Prop：Prop可自动推论Universe索引，我们可以在任何地方使用Type（i）代替。道具似乎使所有事情变得非常复杂。

我读到，在Luo的书中将Set和Prop分开是有哲学原因的，但是，我在书中没有找到它们。这些是什么？

对于程序提取， P r o p非常有用，因为它使我们可以删除无用的部分代码。例如，要提取排序算法，我们将证明以下语句：“对于每个列表 ℓ，都有一个列表 k使得 k被排序，而 k是 ℓ的置换”。如果我们在Coq中写下并提取而不使用 P r o p，则会得到：$\mathtt{Prop}$$\ell$$k$$k$$k$$\ell$$\mathtt{Prop}$

1. “对于所有都有k ”将为我们提供一张地图，其中包含列表到列表，$\ell$$k$sort
2. “使排序”将给出一个遍历k并检查其是否已排序的函数，并且$k$verify$k$
3. “ 是的置换ℓ ”将给置换这需要ℓ到ķ。请注意，这不仅是映射，而且是逆映射以及用于验证两个映射确实为逆的程序。$k$$\ell$pi$\ell$$k$pi

尽管多余的东西并非完全没有用，但在许多应用程序中，我们希望摆脱它并保持公正sort。如果我们使用声明“ k是有序的”并且“ k是ℓ的排列”，而不是 “对于所有ℓ都有k ”，则可以实现此目的。$\mathtt{Prop}$$k$$k$$\ell$$\ell$$k$

在一般情况下，提取代码的常用方法是考虑形式的语句其中 x是输入， y是输出， ϕ （x ，y ）说明 y是正确的输出的含义。（在上面的示例中， A和 B是列表的类型，而 ϕ （ℓ ，k ）是“ k有序，而 k是 ℓ的排列。”）如果 ϕ在 P r o p中，则提取将得出映射 f $\forall x : A \,.\, \exists y : B \,.\, \phi(x, y)$$x$$y$$\phi(x,y)$$y$$A$$B$$\phi(\ell, k)$$k$$k$$\ell$$\phi$$\mathtt{Prop}$使得 φ （X ，˚F （X ））适用于所有 X ∈ 甲。如果 φ是小号Ë 牛逼那么我们也得到了功能摹，使得 g ^ （X ）是证明 φ （X ，˚F （X ））成立，所有 X ∈ $f : A \to B$$\phi(x, f(x))$$x \in A$$\phi$$\mathtt{Set}$$g$$g(x)$$\phi(x, f(x))$$x \in A$。通常，该证明在计算上是无用的，我们希望摆脱它，尤其是当它深深地嵌套在其他语句中时。给了我们这样做的可能性。$\mathtt{Prop}$

2015年7月29日添加：存在一个问题，我们是否可以通过自动优化掉“无用的提取代码”来完全避免。在某种程度上，我们可以做到这一点，例如，从逻辑的否定片段（从空类型，单元类型，乘积生成的东西）中提取的所有代码都是无用的，因为它们只是在单元周围乱码。但是，使用P r o p时，必须做出真正的设计决策。这是一个简单的示例，其中Σ表示我们在T y p e中，∃表示我们在P r o p中。如果我们从中提取 $\mathsf{Prop}$$\mathsf{Prop}$$\Sigma$$\mathsf{Type}$$\exists$$\mathsf{Prop}$ ，我们将得到一个程序，它分解 Ñ到其最低位 b和剩余位 ķ，即，它计算的所有内容。如果我们从提取 Π Ñ ：Ñ Σ b ：{ 0 ，1 } ∃ ķ ：

是强制性的，它创建了一个非常有表现力的证明系统。但是，它在以下意义上“过于”表达：$\mathrm{Prop}$

是不一致的。通常，您希望保留添加排除的中间语的可能性，因此一种解决方案是保留较大的消除数并将Prop用作谓语。另一个是抑制大消除。

Coq都做到了！他们将谓词Prop重命名为Set，并禁用了Prop中的大型消除。

泛用性获得的表现力是“令人放心的”，因为99％的“合理”数学可以用它来形式化，并且相对于集合论，它是一致的。这使得他们很可能不会削弱它到像Agda这样的只有谓语宇宙的东西。

即使您对提取程序不感兴趣，Prop强制性的事实也使您可以构建某些模型，而这些模型是无法使用谓词性塔构建的。IIRC Thorsten Altenkirch使用Coq的对等性建立了系统F的模型。