如果中止统一性，精确的“量子”计算的功能有多强大？

简短的问题。

如果我们允许非单一（但仍然可逆）门，并要求输出确定性地给出正确答案，那么“量子”电路的计算能力是多少？

这个问题在某种意义上是当您允许电路使用的不仅仅是单一门时，类会发生什么$\mathsf{EQP}$。（如果我们希望能够拥有一个定义良好的计算模型，我们仍然被迫将自己限制在上的可逆门上$\mathbb C$。）

（鉴于我对单一情况下此类电路的已知结果有些困惑，因此对该问题进行了一些修改。）

关于“精确”量子计算

为了这个问题，我将定义$\mathsf{EQP}$为可以由一个统一的量子电路族准确解决的一类问题，其中每个unit的系数可以由有时间限制的多项式图灵机（从输入字符串中计算出）每个输入大小n为$1^n$），并且作为有向网络的电路布局也可以在多项式时间内生成。通过“完全”解决，我的意思是测量输出位的产量| 0 ⟩肯定对NO的情况下，和| 1 ⟩肯定为YES实例。$n$$|0\rangle$$|1\rangle$

注意事项：

• 即使限制为单一门，概念$\mathsf{EQP}$也不同于Bernstein和Vazirani使用量子图灵机描述的概念。上面的定义允许电路族$\{ C_n \}$原则上具有无限的门集-当然，每个电路$C_n$仅使用有限的子集-因为门实际上是根据输入计算得出的。（量子图灵机可以模拟您喜欢的任何有限门集，但是只能模拟有限门集，因为它只有有限数量的过渡。）

• 这种计算模型使任何问题变得无关紧要$\mathsf P$，因为the可能包含一个门，该门对任何问题的解决方案进行硬编码$\mathsf P$（毕竟，其系数由多次计算确定）。因此，问题的特定时间或空间复杂性对于此类电路而言不一定是有趣的。

我们可以添加一些警告，即量子计算机的实际实现总会产生噪音。这种计算模型之所以有趣，主要是因为理论上的原因，它是与构成unit变换而不是可行的计算有关的一个模型，也是的精确版本。特别是，尽管上述的警告，我们有P ⊆ Ë Q P ⊆ 乙Q P。$\mathsf{BQP}$$\mathsf{P} \subseteq \mathsf{EQP} \subseteq \mathsf{BQP}$

以我的方式定义的原因是可以将DISCRETE-LOG放入E Q P中。在[  Mosca + Zalka 2003  ]中，有一个多项式时间算法来构造一个circuit回路，该回路通过根据输入模量生成精确的QFT版本来精确求解DISCRETE-LOG实例。我相信，通过将电路构造的元素嵌入门系数的计算方式，我们可以将DISCRETE-LOG放入E Q P中，如上定义。（所以结果离散Log ∈ Ë Q P基本上是由菲亚特持有，但依靠莫斯卡+扎尔卡的建设。）$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP}$$\in \mathsf{EQP}$

暂停统一

令为我们中止门为s的限制并允许它们在可逆变换范围内得到的计算类。我们可以根据其他传统的非确定性类C来放置（或表征）该类吗？$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathbf C$

我要问的原因之一：是否是可通过统一的“非unit量子”电路族有效地解决且有界误差的一类问题，其中YES实例给出|的输出。1 ⟩的概率至少2/3，和NO实例的概率至多1/3（归一化状态矢量后） -然后[阿伦森2005]显示，乙Q P G ^ 大号 = P P。也就是说：在这种情况下，暂停统一性等同于允许无限错误。$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}}$$|1\rangle$$\mathsf{BQP}_{\mathrm{GL}} = \mathsf{PP}$

对于是否获得类似的结果或任何明确的结果？$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$

简短的答案。事实证明，暂停单一转换的要求，并要求每个操作都是可逆的，会产生精确的间隙可定义的类。所讨论的特定类是和“新”子类L P W P P，它们都位于S P P和C = P之间。这些类具有相当技术性的定义，下面将对其进行简要描述。尽管这些定义现在可以从原则上用非单一的“类量子”算法代替。$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{SPP}$$\mathsf{C_=P}$

计数等级包含GRAPH ISOMORPHISM。它还包含了整个班级 ü P，所以我们不希望确切统一的量子算法是强大的非统一类（因为我们可以否则显示 ň P ⊆ 乙Q P）。$\mathsf{SPP}$$\mathsf{UP}$$\mathsf{NP \subseteq BQP}$

更长的答案。

• 在我的问题中，我建议重新定义以解决可由统一电路系列解决的问题，该系列电路使用可有效计算但不一定来自有限门集的门。我不再确定重新定义E Q是个好主意$\mathsf{EQP}$ 以这种方式 P，尽管我确实相信这样的电路系列值得研究。我们可以调用这个类像 ü ñ 我牛逼一个[R Ÿ P Ç代替。$\mathsf{EQP}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

  有可能表明，直到最近是已知开往最好 ë Q P。类别L W P P或多或少对应于存在随机算法的问题，其中NO实例产生的结果1的准确度为0.5，而YES实例产生的结果1的一定概率可以有效并以合理的形式精确计算，该形式大于（但可能以指数形式接近）0.5。L W P的技术定义$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C} \subseteq LWPP}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{LWPP}$是根据不确定的图灵机表示的，但不再具有启发性。$\mathsf{LWPP}$

  如果我们定义是可逆门等效的ü Ñ 我Ť 一个ř ÿ P Ç，以便它是一组其是由完全相同可解决的问题可逆电路家庭提供高效计算栅极系数，然后ģ 大号P c ^ = 大号w ^ P P。$\mathsf{GLP}_{\mathbb C}$$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$$\mathsf{GLP_{\mathbb C} = LWPP}$

• 如果我们限制有限选集，就可以表明单一电路家庭可能在一个子集来模拟，我们可以称之为大号P w ^ P P。（使用上面的L W P P的描述，这对应于随机算法，其中对于YES实例，获得输出1的概率正好是m t （x ） / 2 p （| x |），对于某些多项式p，某些整数$\mathsf{LWPP}$$\mathsf{LPWPP}$$\mathsf{LWPP}$$m^{t(x)} / 2^{p(|x|)}$$p$$m$以及一些有效可计算的多项式。）$t$

  如果我们定义是可逆门等效的ë Q P，因为它通常被定义，我们可以示出Ë Q P G ^ 大号 ⊆ 大号P w ^ P P。$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}}}$$\mathsf{EQP}$$\mathsf{EQP_{\mathrm{GL}} \subseteq LPWPP}$

有关DISCRETE LOG的更正。

上面的结果依赖于标准技术，以一种独立于输入（但可能取决于输入大小）的方式表示代数系数。在原始问题的描述中，我声称[ Mosca + Zalka 2003 ]表明DISCRETE LOG可通过具有有效可计算系数的门集来完全求解。事实似乎更复杂。如果有人在乎精确的可溶性，那么我认为系数的精确表示很重要：但是Mosca和Zalka并没有提供一种依赖于输入的方法。因此，这不是明显的离散对数其实是在或新类ü ñ 我牛逼一个[R ÿ $\mathsf{EQP}$。$\mathsf{UnitaryP_{\mathbb C}}$

参考。

• de Beaudrap，关于精确计数和拟量子复杂性，[ arXiv：1509.07789 ]。