我们可以排序而不排序吗？

这是公知的是通过转置排序排列是在，作为换位的最小数量需要进行排序π ∈ 小号Ñ正是我Ñ v （π ）= { （我，Ĵ ）∈ [ Ñ ] × [ Ñ ] ：i < j  和  π （i ）> π （j ）$\sf{P}$$\pi \in S_n$$inv(\pi) = \{ (i,j) \in [n] \times [n] : i < j \text{ and } \pi(i) > \pi(j) \}$。“反转数”的概念也已在代数组合学中得到应用，例如，它使具有基于弱Bruhat阶的称为六面体的晶格结构。$S_n$

以群体理论的术语重述该问题可能很有启发。我们得到的基团与发电机组Γ和映射我ģ：Γ * → G ^，另一组ħ其上ģ作用传递地，我们希望解决以下问题：给定ħ ∈ ħ，发现一个最小长度瓦特＆Element; Γ *使得我ģ（瓦特）。ħ = 1 ħ。在排列的情况下，G = H $G$$\Gamma$$i_G : \Gamma^* \rightarrow G$$H$$G$$h \in H$$w \in \Gamma^*$$i_G(w).h = 1_H$和 Γ是换位的集合。$G = H = S_n$$\Gamma$

问题：这个问题是否还有其他实例可以接受高效算法？

对于您的问题，我没有确切的答案，但是“编织分类”似乎是一个可能的候选人。根据此维基百科条目，我们可以对其进行如下定义。让是一个基团，并且让ħ表示组元组（X 1，... ，X Ñ）∈ X Ñ使得X 1 ... X Ñ = 1 X。如果我们让ģ是编织物组乙Ñ由移动产生的σ 我，我们可以定义的动作乙$X$$H$$(x_1,\ldots,x_n) \in X^n$$x_1 \ldots x_n = 1_X$$G$$B_n$$\sigma_i$$B_n$在之上：$H$

$\sigma_i(x_1,\ldots,x_n) = (x_1,\ldots,x_{i-1},x_{i+1},x_{i+1}^{-1} x_i x_{i+1},\ldots,x_n).$

也就是说，的位置处结合了互换的效果和缀合我和我+ 1。可能可以在多项式时间内最佳地解决此问题，这将回答您的问题。$\sigma_i$$i$$i+1$

马克·杰鲁姆（Mark Jerrum）的以下论文研究了当和G = H = A n（交替组）时提到的问题：$G=H=S_n$$G=H=A_n$

• 马克·耶鲁姆（Mark Jerrum）：查找最小长度生成器序列的复杂性。理论。计算 科学 36：265-289（1985）http://dx.doi.org/10.1016/0304-3975 (85)90047-7 。

$G=H=S_n$$\Gamma$$w$