不能通过停止问题的减少来证明不确定性

证明不确定性的通常方法是减少RE-完全问题，例如停止问题，一阶逻辑的有效性，丢番图方程的可满足性等。

已知存在递归枚举但不确定的问题，这些问题不是RE完整的，而是人工构造（即，为显示此“密度”结果而定义的集合）。

一个人如何解决不确定性而又不因RE完全问题而减少？对角化？

computability

— 戴维·蒙诺
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也许正确的问题是：“ 证明不确定性的直接方法有哪些？”？

— Suresh Venkat 2014年

Godel不完全性定理在某种程度上被视为“不同的方式” ...另一个对角化证明依赖于程序/输入对的数量是可数的，但语言是不可数的，因此这种方式类似于实数的不可通约性与整数。另请参见此Q / A Lawvere不动点定理

— vzn 2014年

可能重复：是否有不依赖于自引用或对角化的暂停问题的不确定性证据？

— 卡夫2014年

@vzn：我认为Godel不完整本质上是相同的证明……

— Joshua Grochow 2014年

出于好奇，您要尝试证明哪种问题或语言是不确定的？我认为您可以减少许多已知的无法解决的问题（例如，参见Wikipedia上的一小列清单），所以我想知道其中至少有一个与您的问题相似，或者这是一个全新的问题。

— Marzio De Biasi 2014年

Answers:

可以很直接地表明Kolmogorov的复杂性是不可计算的，例如参见Sipser，第3版，问题6.23。

— 比约恩·乔斯·汉森
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这也应该直接遵循柴廷不完备性定理，该定理的证明非常相似。

— Yonatan N 2014年

从以前的问题看来，Sipser打算让学生使用暂停问题的不确定性作为证据，因此也许值得在答案中勾勒出不可计算性的直接证据。

— usul 2014年

实际上，将练习6.24和6.25进行比较也很有帮助。

— 比昂·乔斯·汉森（BjørnKjos-Hanssen）

考虑到OQ专门询问对角化问题，我认为可能值得指出-K不可计算的证明本质上也是对角化问题。（实际上，它是用来证明HALT不可计算的相同的普通香草对角化，这与Cantor关于基数的原始证明相同，这与Godel和Chaitin不完整性的证明相同，所有证明仅是定理-版本的罗素悖论...

— 约书亚·格罗肖

考虑一下我喜欢称呼的CONSISTENT GUESSING问题。

$M$

（当然，这不是一种语言，而是更像一个promise问题的可计算性类似物。）

现在，通过对Turing的原始证明进行修改，可以很容易地证明“持续猜测”是不确定的（我将其留给您练习）。

$A$ $A$

— 斯科特·亚伦森
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谢谢，但是...同样，对角线证明。;-)我的问题是，我有一些我无法确定的东西（基本上，超过35年的时间，人们一直在寻找启发式算法或对子类有效的算法来解决它），但是似乎都不是“显而易见的”从re减少也没有一些对角化的论点...

— David Monniaux 2014年

请注意，没有已知的“自然”问题无法确定，但没有（已知的）图灵降低到停止问题。尤其是，表明某事不可决定的唯一“推荐”方法是将其减少到另一个不可决定的问题（例如，半统一或矩阵可及性）

— Cody 2014年

科迪：这也是我过去的想法。但是，如果您愿意考虑比决定一种语言更多的常规任务，那么“持续猜测”是一个很自然的反例！（顺便说一句，我认为您的意思是将已知的无法解决的问题减少到您的问题中，而不是

— 反过来

如果您要寻找的证明既不是a）从已知的完整问题中得出的结论，又不是b）直接对角化（您的各种评论表明您的身份），那么据我所知，您很不幸。我知道的所有证明都不是通过简化来实现的-包括Aaronson和Kjos-Hanssen在此给出的其他出色答案中的证明-都是通过直接对角化来进行的。

所有这些对角化本质上都是相同的证明。其中一些是证明的轻微变体，会产生稍强/弱的陈述，但是证明本身通常只是非常微小的变体。（而且所有这些证明基本上都与Cantor关于基数的原始证明相同，这与Godel和Chaitin不完整的证明相同，它们都是Russell悖论的全部定理版本...如此之多我想知道是否有人可以用某种逆数学的形式来形式化一个定理，该定理说实际上只有一个这样的证明。）

但是，可能值得指出的是，还有其他陈述的证明（通常具有不同的风味），它们是对角化，与用于证明暂停问题的不确定性的对角化确实，确实，可证明地不同。

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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我对该主题了解不多，但是Lawvere的不动点定理不是几乎所有这些的通用概括吗？

— Sasho Nikolov 2014年