八叉树潜在功能：为什么将大小的对数相加？

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我正在教一门关于数据结构的课程，并将在下周初讨论八卦树。我已经阅读了很多关于八叉树的论文，并且熟悉数据结构背后的分析和直觉。但是，对于Sleator和Tarjan在他们的分析中使用的潜在功能，我似乎找不到扎实的直觉。

该分析通过为树中的每个元素分配任意权重，然后将节点的大小设置为以为根的子树中节点的权重之和来进行。然后，他们以该值的对数获取节点的等级，因此。最后，将树的潜在功能定义为所有节点的秩的总和。 $w_i$ $s(x)$ $x$ $r(x)$ $r(x) = \log s(x)$

我了解此潜在功能正常运行，可以进行分析，但是我不明白他们为什么会选择此潜在功能。为每个节点分配大小的想法对我来说很有意义，因为如果对大小进行求和，就可以得到树的加权路径长度。但是，我无法弄清楚为什么他们决定取权重的对数然后对它们进行汇总-我看不到与之对应的树的任何自然属性。

八叉树的潜在功能是否对应于该树的某些自然属性？除了“行之有效”之外，还有其他特定的原因让他们选择这种潜力吗？（我特别好奇，因为这套课程笔记提到“分析是不可思议的。[不]想法如何被发现”）

谢谢！

ds.data-structures intuition amortized-analysis

— templatetypedef
source

我之前也听过这种“黑魔法”的解释。您是否尝试通过电子邮件发送Sleator和Tarjan？

— jbapple 2014年

@jbapple我尚未通过电子邮件发送给他们，因为我希望“整个社区”能够为您提供帮助。我还认为，对某人关于他们30年前所做的工作的询问可能并不一定会引起回应。:-)

— templatetypedef

我不太熟悉它，但是我只是粗略地看了这篇论文，我认为唯一的原因是，在展开操作之后，它们希望对潜在功能进行一些小的更改，例如，如果我们将

替换为

或

似乎仍然一切正常（我没有证明这一点，但似乎只需要一个简单的mathwork）。但是，如果我们将其保留为

，则该摊销分析while是正确的，但这不是一个好的上限（类似于

）。它与树的任何属性都不相关。

\log

$\log$

\log \log

$\log\log$

l o g^{*}

$log^*$

s

$s$

(m + n)^{2}

$(m+n)^2$

— 赛义德

我一直将x的等级用黑框表示为“包含x的后代的理想二进制搜索树的深度”，但这比起直观的提示更易记。

— Jeffε

Answers:

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如何提出潜在的总日志

让我们考虑一下BST算法，对于元素每次访问，它仅将的搜索路径中称为前路径的元素重新排列到称为后树的树中。对于任何元素，令和分别是在重排之前和之后均以为根的子树的大小。所以和可以当且仅当不同。 $A$ $x$ $P$ $x$ $a$ $s(a)$ $s'(a)$ $a$ $s(a)$ $s'(a)$ $a \in P$

而且，随时都只会在搜索路径中不断重新排列许多元素。我们称这种算法为“本地”算法。例如，展开树是本地的。每次最多只能按锯齿形，锯齿形和锯齿形重新排列3个元素。 $A$

现在，在后树中创建“许多”叶子的任何本地算法（例如splay树）都具有以下不错的属性。

我们可以创建一个映射这样 $f: P \rightarrow P$

有许多线性，其中 $a \in P$ 。 $s'(f(a)) \le s(a)/2$

不断有很多，其中可以大，但平凡最多。 $a \in P$ $s'(f(a))$ $n$

其他元素 $a \in P$ ，。 $s'(f(a)) \le s(a)$

我们可以通过展开搜索路径的变化来看到这一点。映射实际上是很自然的。本文的“发散的全局几何视图”精确地显示了如何观察上述观察的细节。

知道了这一事实之后，选择对数总和势很自然。因为我们可以使用type-1元素的潜在变化来支付整个重排。此外，对于其他类型的元素，我们必须最多以对数形式支付潜在的变化。因此，我们可以得出对数摊销成本。

我认为人们之所以认为这是“黑魔法”，是因为先前的分析并未“展开”搜索路径的整体变化，而是一步一步就能看到真正的变化。相反，它们显示了每个“局部转换”的电势变化，然后显示可以神奇地伸缩这些电势变化。

PS该文件甚至显示出对数和数潜力的某些限制。即，仅通过本地算法就可以通过对数和的对来证明访问引理的可满足性。

解释对数和的潜力

还有另一种方法可以定义Georgakopoulos和McClurkin的论文中BST的潜力，这与Sleator Tarjan论文中的对数总和潜力基本相同。但这给了我很好的直觉。

现在，我切换到论文的注释。我们为每个节点分配一个权重。令为的子树权重的总和。（这只是每个节点的权重为1时的子树的大小。） $w(u)$ $u$ $W(u)$ $u$ $u$

现在，我们没有定义节点的等级，而是定义了边缘的等级，他们将其称为“ 进度因子”。

p f (e) = \log (W (u) / W (v)) .

$pf(e)=\log(W(u)/W(v)).$

树的潜力是 $S$

Φ (S) = \sum_{e \in S} p f (e) .

$\Phi(S) = \sum_{e\in S} pf(e).$

这种势能有一个自然的解释：如果在搜索过程中我们遍历边缘我们将搜索空间从的后代减少到的后代，则的分式减少 $(u,v)$ $u$ $v$ 。我们的进步因素是对这一“进步”的对数度量，因此得名。[摘自第2.4节] $W(u)/W(v)$

观察到这几乎等于Sleator Tarjan的潜力，并且在路径上是可加的。

编辑：事实证明，这种替代定义及其背后的直觉很早就由Kurt Mehlhorn所描述。请参阅他的书“数据结构和算法”第一卷，第三节。6.1.2展开树，第263-274页。

— 查恰波尔
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