鉴于

这是一个与学习军人类似的问题：

输入：函数，由隶属度oracle表示，即给定的oracle 返回f （x ）。$f: \{0,1\}^n \rightarrow \{-1,1\}$$x$$f(x)$

目标：查找子多维数据集$S$的$\{0,1\}^n$与体积$|S|=2^{n-k}$使得$\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.1$。我们假定存在这样的子多维数据集。

这是很容易得到一个算法，在时间用完$n^{O(k)}$和回报的概率一个正确的答案$\ge 0.99$通过尝试所有$(2n)^k$的方式来选择子多维数据集和采样平均每一个。

我对找到一种可以在时间中运行的算法很感兴趣$poly(n,2^k)$。替代地，下界将是巨大的。这个问题类似于学习军政府，但我看不出它们的计算难度之间存在实际联系。

更新：@Thomas下面证明了此问题的样本复杂度为$poly(2^k,\log n)$。有趣的问题仍然是问题的计算复杂性。

编辑：为简单起见，您可以假设存在一个带有的子多维数据集。Ë X ∈ 小号 ˚F （X ）| ≥ $\left|\mathbb{E}_{x \in S} f(x) \right| \ge 0.2$（通知的差距：我们正在寻找与平均子多维数据集$\ge 0.1$）。我敢肯定，任何解决问题的差距也将解决这个问题没有差距。

这是样本复杂度的一个更好的界限。（尽管计算复杂度仍为。）$n^k$

定理。 假设存在一个大小为2 n − k的子立方体，使得| È X ∈ 小号 [ ˚F （X ）] | ≥ 0.12。与Ô （2 ķ ⋅ ķ ⋅ 登录Ñ ）样品，我们可以，以高概率，确定一个子立方体小号'大小的2 ñ - ķ使得| È X ∈ 小号' [ $S$$2^{n-k}$$|\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]| \geq 0.12$$O(2^k \cdot k \cdot \log n)$$S'$$2^{n-k}$。$|\mathbb{E}_{x \in S'}[f(x)]| \geq 0.1$

请注意，参数损失很小（最佳值为，而保证值为0.1）。$0.12$$0.1$

证明。挑点P ⊂ { 0 ，1 } Ñ均匀随机和查询˚F在每个X ∈ P。$m$$P \subset \{0,1\}^n$$f$$x \in P$

固定子多维数据集尺寸的2 ñ - ķ。我们有E [ | 小号∩ P | ] = 中号2 - ķ。由切尔诺夫界线，P [ | 小号∩ P | < 米2 - ķ - 1 ] ≤ 2 - Ω （米2 - ķ）。也P [ | Ë X ∈ 小号$S$$2^{n-k}$$\mathbb{E}[|S \cap P|]=m 2^{-k}$

$$\mathbb{P}[|S \cap P| < m 2^{-k-1}] \leq 2^{-\Omega(m 2^{-k})}.$$ $$\mathbb{P}[| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | > \varepsilon] \leq 2^{-\Omega(|S \cap P| \varepsilon^2)}.$$

${n \choose k}2^k$$S$

$$\mathbb{P}[\forall S ~~ | \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)] - \mathbb{E}_{x \in S}[f(x)] | \leq \varepsilon] \geq 1 - {n \choose k} 2^k 2^{-\Omega(m 2^{-k} \varepsilon^2)}.$$ $m = O(2^k/\varepsilon^2 \cdot k \log n)$$0.99$$\mathbb{E}_{x \in S}[f(x)]$$\varepsilon$$S$$2^{n-k}$。

$\varepsilon=0.01$$| \mathbb{E}_{x \in S \cap P}[f(x)]|$