DFA是否还有任何未解决的问题？

在研究了本科生的确定性有限状态自动机（DFA）之后，我感到它们非常好理解。我的问题是，对于它们，我们是否仍然不了解。我并不是说DFA的泛化，而是我们在本科学习的原始未经修改的DFA。

这是一个模糊的问题，但我希望您能理解。我想知道我们完全了解DFA是否公平。因此，我的意思是说，这些问题本质上是关于DFA的，而不是人为地使问题看起来像DFA的问题。让我举一个这样的问题的例子。如果P = NP，则L为空语言；如果P不是NP，则L为固定的非规则语言。L可以被DFA接受吗？这个问题是关于DFA的，但本质上不是关于它们的。我希望我的观点是明确的，并且不要从人们那里得到ped脚的非回答。

简而言之，公平地说

我们基本上完全了解DFA。

很抱歉，事实证明这是我尚未意识到的巨大研究领域，而且我只是侮辱了整个社区。

这是Shallit在“形式语言和自动机理论的第二门课程”一书中描述的一个问题。

令和v为带有|的两个不同的词 ü | = | v | = n。接受u但拒绝v的最小DFA的大小是多少？反之亦然？$u$$v$$|u|=|v|=n$$u$$v$

罗布森，在他的论文“ 用小自动机分离的字符串在1989年”证明一个上限。最著名的下限以Ω （log n ）为单位。$O(n^{2/5}(\log n)^{3/5})$$\Omega(\log n)$

要进行调查，请参阅此。

这是有关DFA的一个非常简单的决策问题。给定DFA M，M是否接受至少一个质数的以2为基的表示形式？

目前，我们甚至不知道此问题是否可以递归解决。

如果是递归可解的，我们有一个算法的话，我们就能分辨是否有任何费马素数（形式的素数的长期未解决的问题比已知的一个，65537最大的大）（因为与以下形式的基2表示任何素1 0 + 1必须是费马素数。）$2^{2^n} + 1$$1 0^+ 1$

$n$$(n-1)^2$$O(n^3)$

我想指出另一个研究问题，它涉及DFA的非常基本的概念之间的相互作用。

$2^n$$2^n$

幻数问题

$\alpha$$n$$2^n$$L_n$$\alpha$

$\alpha$$\alpha$

$1$$3$

加琳娜·吉拉斯科娃（GalinaJirásková）。魔术数字和三元字母表。在：第13届语言理论发展国际会议（DLT 2009），计算机科学讲义第5583卷，第300-311页。

标题：两个DFA的路口非空

$D_1$$D_2$$x$$D_1$$D_2$$x$

$o(n^2)$

$O(n^{\delta})$$\delta$

说明： 确定二次语言中常规语言的交集是否为空

您可能会发现这很有用：http : //rjlipton.wordpress.com/2009/08/17/on-the-intersection-of-finite-automata/

祝你有美好的一天！:)

这是一个与DFA和机器学习理论相关的开放问题：在PAC模型中是否可以学习统一随机（随机过渡和接受/拒绝行为）的DFA？

注意：我们认为任意DFA都不是密码学硬度结果的学习依据。对于随机DFA，我们只有SQ下限，但没有那么强。

$L$$L$$L$$l$$L$$l$$L$$l$$O(n^2)$

$n$

在我看来，应该存在一个封闭形式的公式，但未知的公式。一些渐近边界是已知的：

$n$

这是我之前在这里提出的与DFA有关的问题，据我所知它仍然是未解决的：

$n$$\Sigma=\{0,1\}$$DFA(n)$$n$$|DFA(n)| = n^{2n}2^n$

$x,y\in\Sigma^*$$K_n(x,y)$$DFA(n)$ $x$$y$

$K_n(x,y)$$K_n(x,y)$$poly(n,|x|,|y|)$

这个问题对机器学习有影响。

（“框外思考” ...）这是一个涉及DFA的人为设计的问题（尚未在其他地方研究过），但在TCS中却表现出一个主题，即甚至许多显然“简单”的计算对象（例如DFA）也可以具有复杂的属性。 ，也是莱斯定理中体现的一个方面/主题。（在某些方面，最终的“复杂性”是“不确定性”，也称为图灵完整性。）

$n$$x$$n$$x↑n$

$DFA_n$$DFA'$$DFA'$$n$$DFA_n$$DFA'$，也是RL（和DFA）。

$\Sigma$

$n$$DFA_n ≠ \Sigma*$

$\Sigma*$$n$

现在，为了将其更多地与问题联系起来，尽管这一点并未得到广泛关注（有些人认为是微不足道的），但在TCS /数学中许多未解决的问题与不确定性紧密相关，因为给定了暂停问题的预言，它们可以是“解决了”。

因此，在某种意义上，使用无法确定的有关DFA的基本问题将这一切联系在一起，就总是存在有关DFA的未解决问题，因为有关DFA的“未解决”问题（例如此问题）总是存在，相当于无法解决的问题。实际上，正如这种构造在某些方面所做的那样，反过来使用莱斯定理，基本上可以将TCS中任何相对“简单”但不平凡的计算属性用于构造不确定的问题。

[1] 需要指数时间的单词问题 / Stockmeyer＆Meyer

[2] Meyer，AR和L. Stockmeyer。带平方的正则表达式的等价问题需要指数空间。第13届IEEE交换与自动机理论研讨会，1972年10月，第125–129页。

[3] 语言，自动机和计算导论 / Hopcroft / Ullman。