上下文无关文法（CFG）的渐近密度

不明确的 CFG与所有CFG的比率是多少？

由于这两个集合都是无穷大的，因此比率不明确。但是渐近密度呢：

其中终端和非终端符号来自固定的可计数集合。

语法的大小是语法大小的任何合理概念，例如

1. 生产规则中变量和终止的总出现次数，或
2. 变量出现的总数，或
3. 生产规则总数，或
4. 不同变量的数量。

（我假设大小的定义不会影响答案。）

问题取决于确切的编码。但是，似乎在许多合理的编码中，随着长度趋于无穷大，生产规则的数量$S\to a$ （以正确解释起始符号 $S$ 和终端 $a$）将不止一个具有高可能性；这里我的意思是同一终端$a$。如果我们认为这是模棱两可的，那么我期望“大多数”语法是模棱两可的。我们还可以编造类似情况，例如规则$S\to S$ 和 $S\to a$ 每个都至少出现一次。

假设此一般假设，随着长度趋于无穷大，每个（固定）可想见的规则都应以高概率出现，我们发现“大多数”语法生成 $\Sigma^*$ 模棱两可。

例如，考虑以下语法编码 $\Sigma = \{0,1\}$。语法字母由符号组成$\{0,1,;,.\}$。非终端由长度至少为2的二进制字符串索引。规则由句号分隔。每个规则都是由分号分隔的二进制字符串序列。第一个二进制字符串是左侧的非终结符，其余的字符串（如果有）构成右侧。如果第一个二进制字符串不是非终结符（即$\epsilon$,, 0,1），则假定起始非终止。起始非终端始终为00。

在这种编码下，每个字符串 $\{0,1,;,.\}^*$描述一些语法。随机语法将很可能包含的许多副本$.00;00.$ 和 $.00;0.$，尤其会造成歧义。