与Fano不等式相反吗？

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Fano的不等式可以用多种形式表示，其中一个特别有用的原因是Oded Regev（稍作修改）：

令为随机变量，令其中为随机过程。假设存在一个过程，给定可以以概率重建。然后 $X$ $Y = g(X)$ $g(\cdot)$ $f$ $y = g(x)$ $x$ $p$
$I (X; Y) \geq p H (X) - H (p)$ $I(X; Y) \ge pH(X) − H(p)$

换句话说，如果我可以重构，那么系统中会有很多相互信息。

法诺的不平等是否存在“反面”：某种形式

“给出一个具有足够互信息的通道，有一个过程可以从输出中重建输入，而误差取决于互信息”

期望这个过程也将是高效的，这实在太多了，但是，看到（自然的）重建存在但必定效率低下的例子也将很有趣。

it.information-theory randomized-algorithms

— 苏雷什·文卡特（Suresh Venkat）
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Answers:

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$P(y)$ $y$ $x$ $\Pr[X = x \mid Y = y]$ $\max_x \Pr[x \mid Y = y]$ $2^{-H_\infty(X | Y = y)}$ $H_\infty(X \mid Y = y)$ $X$ $Y = y$ $H_\infty(X) \leq H_1(X)$ $H_1(X)$ $X$ $H_\infty(X|Y = y)$ $I(X:Y)$

$I(X:Y) = H(X) - H(X|Y) = H(X) - \mathbb{E}_y[H(X \mid Y = y)]$ $I(X:Y) \leq H(X) - \mathbb{E}_y[H_\infty(X \mid Y = y)]$ $\mathbb{E}_y[H_\infty(X \mid Y = y)] \leq H(X) - I(X:Y)$

$X$ $Y$ $\mathbb{E}_y [2^{-H_\infty(X\mid Y = y)}]$ $2^{-\mathbb{E}_y[H_\infty(X \mid Y = y)]}$ $2^{I(X:Y) - H(X)}$ 。

$P$ $\mathbb{E}_y [ \sum_{x} \Pr(X = x \mid Y = y) \Pr(P(y) = x) ]$ $P(y)$ $x$

— 袁
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因此，是否存在一个定量的陈述，可以反驳此论点得出的Fano不等式？

— mobius饺子2014年

I (X : Y)

$I(X:Y)$

1 - 2^{I (X : Y) - H (X)}

$1 - 2^{I(X:Y) - H(X)}$

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p_{e r r} \leq 1 - 2^{I (X; Y) - H (X)} = 1 - 2^{- H (X | Y)}, (1)

$p_{err} \leq 1-2^{I(X;Y)-H(X)}=1-2^{-H(X|Y)},\quad\quad(1)$

I (X; Y) = H (X) - H (X | Y)

$I(X;Y)=H(X)-H(X|Y)$

p_{e r r} \leq 1 - \sum_{y \in Y} P_{Y} (y) 2^{- H_{2} (X | Y)}, (2)

$p_{err} \leq 1 - \sum_{y \in {\cal Y}} P_Y(y) 2^{-H_2(X|Y)},\quad\quad(2)$

H_{α} (Z) = \frac{1}{1 - α} (\sum_{z \in Z} P_{Z} (z)^{α})

$H_{\alpha}(Z)=\frac{1}{1-\alpha}\left( \sum_{z \in {\cal Z}} P_Z(z)^{\alpha}\right)$

α \in (0, 1) \cup (1, \infty) .

$\alpha \in (0,1)\cup(1,\infty).$

α = 2,

$\alpha=2,$

— 科德鲁
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