如何在小空间中按概率顺序遍历向量

12

考虑一个维向量，其中。对于每一个，我们知道，让我们假设是独立的。使用这些概率，是否存在一种有效的方法，可以使用输出大小中的空间线性从最大可能性到最小可能性（对关系进行任意选择）从二进制维向量进行迭代？ $n$ $v$ $v_i \in \{0,1\}$ $i$ $p_i = P(v_i = 1)$ $v_i$ $n$

举个例子。最有可能的载体是和最有可能是。 $p = \{0.8, 0.3, 0.6\}$ $(1,0,1)$ $\{0,1,0\}$

对于非常小的我们可以用概率来标记向量中的每一个，并简单地进行排序，但这当然仍然不会使用亚线性空间。 $n$ $2^n$

之前曾在/cs/24123/how-to-iterate-over-vectors-in-order-of-probability中询问过此问题的近似变体。

ds.algorithms space-bounded

— 伦比克
source

您是否也没有提出跟进问题的任何理由？在亚线性空间中，这里的主要问题之一是这样做吗？

— Suresh Venkat 2014年

@SureshVenkat是的，问题完全在于亚线性空间（在输出大小中）。我在这里问这个问题，因为我认为这个问题可能很难解决。

— Lembik 2014年

在

空间和时间中解决这个问题似乎需要类似于SUBSET-SUM的技术（迅速知道子集的哪些和几乎抵消了不同的和）。因此，不可能有一个快速的解决方案。

poly (n)

$\textrm{poly}(n)$

— 2014年

@GeoffreyIrving您认为这种直觉可以变得更正式吗？

— Lembik 2014年

9

下面给出了使用大约时间和空间的算法。 $2^n$ $2^{n/2}$

首先，让我们看一下对项目的所有子集的总和进行排序的问题。 $n$

考虑这个子问题：您有两个长度为排序列表，并且您想要创建一个列表中数字的成对和的排序列表。您希望在大约时间（输出大小）但亚线性空间中执行此操作。我们可以达到空间。我们保留一个优先级队列，并以升序将总和从优先级队列中拉出。 $m$ $O(m^2)$ $O(m)$

让列表为和，以递增顺序排序。我们取和，，并将它们放在优先级队列中。 $a_1 \ldots a_m$ $b_1 \ldots b_m$ $m$ $a_i + b_1$ $i = 1 \ldots m$

现在，当我们拉剩余最小和出优先级队列的，如果我们然后把总和到优先级队列。该空间由优先级队列控制，该队列始终最多包含和。时间为，因为我们对每个优先级队列操作都使用。这说明我们可以在 $a_i + b_j$ $j < m$ $a_i + b_{j+1}$ $m$ $O(m^2 \log m)$ $O(\log m)$ 时间和空间。 $O(m^2 \log m)$ $O(m)$

现在，要对数字的所有子集的总和进行排序，我们只需使用此子例程，其中列表是项的前一半的子集的总和的集合，列表是子集的总和的集合下半年的项目。我们可以使用相同的算法递归找到这些列表。 $n$ $a_i$ $b_i$

现在，我们将考虑原始问题。让是该组其是坐标，和是该组其是坐标。然后 $S_0$ $0$ $S_1$ $1$

\begin{array}{rcl} \prod_{i \in S_{0}} p (v_{i} = 0) \prod_{i \in S_{1}} p (v_{i} = 1) & = & \prod_{1 \leq i \leq n} p (v_{i} = 0) \prod_{i \in S_{1}} \frac{p (v_{i} = 1)}{p (v_{i} = 0)} \\ = & \prod_{1 \leq i \leq n} p (v_{i} = 0) \exp (\sum_{i \in S_{1}} \log \frac{p (v_{i} = 1)}{p (v_{i} = 0)}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*}\prod_{i \in S_0} p(v_i=0) \prod_{i \in S_1} p(v_i=1) &=& \prod_{1\leq i \leq n} p(v_i=0) \prod_{i \in S_1} \frac{p(v_i=1)}{p(v_i=0)} \\ &=& \prod_{1\leq i \leq n} p(v_i=0) \exp\,\left(\sum_{i \in S_1} \log \frac{p(v_i=1)}{p(v_i = 0)}\right).\end{eqnarray*}$

排序这些数字是相同的排序的数字，因此，我们减少了问题排序的子集的总和项目。 $\sum_{i\in S_1}\log p(v_i=1) - \log p(v_i=0)$ $n$

— 彼得·索尔
source

是否有减少的可能性，这将使多时/空解决方案难以置信？

— Lembik 2014年

您可能不会获得耗时少于

的解决方案，因为那是输出的大小（而我的解决方案需要

2^{n}

$2^n$

次）。但是，我没有很好的空间下限。

n 2^{n}

$n\, 2^n$

— Peter Shor 2014年

谢谢。我当然不是说poly时间，而是输出大小和poly空间中有些线性。

— Lembik 2014年

4

$O(n)$

$x \in \{0,1\}^n$ $O(n)$ $r(x)$ $x$ $x'$ $p(x') > p(x)$ $x'\in \{0,1\}^n$ $x'$ $p(x') > p(x)$ $r(x)$ $x$
$k$ $x$ $r(x) = k$ $O(n)$ $x \in \{0,1\}^n$ $x$ $r(x)$ $x$ $r(x) = k$
$k$ $0$ $2^n-1$ $k$ $x$ $r(x) =k$

（我们也应该注意可能的联系，但这并不困难。）

— 尤里
source

谢谢。但是，这是一个很慢的算法：)

— Lembik

0

编辑：此答案不正确。有关详细信息，请参见评论。〜甘达特

$O(2^n)$ $O(n)$

$(i, p_i)$ $\left|0.5 - p_i\right|$
$v$ $v_i$ $1$ $p_i > 0.5$ $0$ $v$ $v_i$ $v$
在排序列表和空向量上调用此递归函数。

$0$ $1$ $0.5$

$O(2^n)$ $O(n)$ $n$ $O(2^n)$ $O(n)$ $O(2^n)$ 时间步长。因此，该算法在最坏情况下的复杂度最佳。

— 甘达升
source

Θ (2^{n})

$\Theta(2^n)$

谢谢。我显然没有足够仔细地阅读它！我已经编辑了答案。

— gandaliter14年

3

v_{1} = 1

$v_1=1$

2^{n - 1}

$2^{n-1}$

v_{1} = 1

$v_1=1$

p_{i} = 0.5

$p_i=0.5$

没错，这行不通。抱歉!

— gandaliter 2014年