解决魔方的运动所需的移动数量是否有局部最大值？

彼得·索尔（Peter Shor）提出了一个有趣的观点，试图回答一个较早的问题，即解决 Rubiks立方体的复杂性。我发布了一个相当幼稚的尝试，以表明它必须包含在NP中。正如彼得指出的那样，我的方法在某些情况下是失败的。这种情况的一种可能情况是，路径长度中存在局部最大值。我的意思是说，可能需要S A动作才能从配置A以及S A或S A A求解立方体。现在，如果S A不一定是这样的问题$n \times n \times n$$S_A$$A$$S_A$移动到解决由能在一个从移动到达的任何位置的立方体$S_A - 1$$A$$S_A$是解决一般立方体所需的最大移动次数（该立方体的上帝编号），，但如果严格小于该立方体的上帝编号，则肯定是一个问题。所以我的问题是这样的局部最大值是否存在？我什至对3 × 3 × 3立方体的答案也很感兴趣。$S_A$$3 \times 3 \times 3$

向Tomas Rokicki提出这个问题，立即得出了正确的答案（“是的，存在局部极大值”）：

如果一个位置显示出完全对称，则它必须是局部最大值（除了起始点以外的所有位置）。稍加思考，就可以弄清楚为什么QTM（四分之一圈指标）会出现这种情况。对于HTM（半圈指标）来说，它有些微妙，但还算不错。

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这样的位置是pons asinorum，在QTM中为距离12，在HTM中为距离6（U2D2F2B2L2R2）。

我不明白为什么半圈指标会出现这种情况；但对于四分之一转指标，这是显而易见的。在完全对称的位置中，所有相邻位置必须具有相同的路径长度（因为所有移动在对称性上都是等效的）。因此，具有完全对称性的位置必须是局部最大值或严格局部最小值。但是严格的局部极小值不可能存在…… 仅通过定义距离，就必须采取一些措施来减小到求解状态的距离。对称参数转换为立方体，提供的示例位置也是如此。$n \times n \times n$

这是一个极具启发性的论点，它暗示了可以在哪里找到局部最大值。令为需要精确d次移动才能解决的位置数。从这样的位置每次移动取立方体距离d - 1，d，或d + 1 ; 因此共有N d − 1 + N d + N d + 1个可访问的位置。每个位置有M个动作，导致M个新位置；距离d的位置$N_d$$d$$d-1$$d$$d+1$$N_{d-1} + N_d + N_{d+1}$$M$$M$$d$当这位置中的任何一个都不在距离d + 1时，它是一个局部最大值。如果我们从可访问位置（当然不是，这是启发式部分）中随机抽取这些位置，则我们将：$M$$d+1$

$$\begin{eqnarray} X_d &=& P\left[\text{ a given position at }d\text{ is a local max }\right] \\ &=& \left(\frac{N_{d-1} + N_d}{N_{d-1} + N_d + N_{d+1}}\right)^M \\ &=& \left(1 + \frac{N_{d+1}}{N_{d-1} + N_d}\right)^{-M}. \end{eqnarray}$$

距离处的局部最大值的预期数量为N d X d。$d$$N_d X_d$

对于立方体，从给定位置的移动次数为M = 18，并且在上帝的数字为20时提供了N d的估计值。使用这些值，我们发现期望的局部最大值为N 16 X 16 = 0.2，N 17 X 17 = 9 × 10 9和N 18 X 18 = 1.5 × 10 19。因此，不可能有任何局部最大值$3 \times 3 \times 3$$M=18$$N_d$$N_{16} X_{16} = 0.2$$N_{17} X_{17} = 9 \times 10^9$$N_{18} X_{18} = 1.5 \times 10^{19}$。在 d = 17时，职位总数估计为 12 × 10 18，因此人们可能希望在找到局部最大值之前测试十亿个职位。最后，在 d = 18时，人们期望每20个位置出现局部最大值。$d \le 16$$d=17$$12 \times 10^{18}$$d=18$