什么是平面度最简单的多项式算法？

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有多种算法可在多项式时间内决定是否可以在平面上绘制图形，甚至有许多算法具有线性运行时间。但是，我找不到一种非常简单的算法，可以在课堂上轻松，快速地进行解释，并且无法证明PLANARITY在P中。您知道吗？

如有必要，可以使用Kuratowski定理或Fary定理，但不能使用任何深层次的定理，例如图次要定理。还要注意，我不在乎运行时间，我只想要一些多项式。

以下是到目前为止的3种最佳算法，它们显示了简单/无需深入理论所需的权衡。

算法1：通过使用该算法，我们可以检查图在多项式时间内是否包含或作为次要，我们使用了深层理论，得到了一个非常简单的算法。（请注意，正如Saeed所指出的那样，该理论已经使用了图嵌入，所以这并不是真正的算法方法，只是简单地告诉已经知道/接受图次要定理的学生。） $K_5$ $K_{3,3}$

算法2 [基于某人的答案]：显而易见，它足以处理3个连通图。对于这些，找到一张脸，然后应用Tutte的弹簧定理。

算法3 [Juho建议]：Demoucron，Malgrange和Pertuiset（DMP）算法。画一个循环，剩余图的组件称为片段，我们以适当的方式嵌入它们（同时创建新片段）。这种方法不使用其他定理。

graph-algorithms co.combinatorics planar-graphs

— 多摩普
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1

我认为许多人都同意最简单的多项式时间算法是Demoucron，Malgrange和Pertuiset（DMP）算法。这是一本算法教科书通常涵盖的内容（例如，参见Gibbons 1985或Bondy＆Murty 1976）。仅确定平面度就足够了，还是该算法还应该输出平面嵌入？IIRC Boyer和Myrvold @joro在SODA'99上发表的论文可能涉及到遗漏的细节，尤其是关于时间复杂度的问题。

— Juho 2014年

2

如果您只希望决策问题是PLANAR，那么两个可以在多项式时间内检查其存在的禁止未成年人是否足够？

— joro 2014年

2

@joro：是的，那当然是一个简单的解决方案，但我宁愿避免使用如此强大的定理。

— domotorp 2014年

1

我提到的算法基本上是Auslander-Parter算法。我的算法中的问题是第7部分，当我说我们可以对组件进行二等分图时。我们可以在原始算法中使用，但在我说过的算法中，我们需要更精确的组件定义，因此我不愿详细解释它。递归部分显然是正确的（如果我们可以执行第7步，那么我们就完成了），在此您怀疑它的正确性。我没有更新我的答案，因为我看到它会在两页左右，而且我不能再缩写，所以称它为简单不是很好。

— 2014年

3

简化为三连接的情况在概念上很简单，无论如何都应进行解释。如果我们对效率不太感兴趣，可以很容易地将效率降低到3连通的情况。检查所有2节点切割。

— Chandra Chekuri 2014年

6

我将描述一种算法。我不确定它是否简单，而且有些证明不是那么容易。

首先，正如钱德拉·切库里（Chandra Chekuri）所说，我们将图分成3个连接部分。

将图分成连接的组件。
将每个连接的组件分成2个连接的组件。可以在多项式时间检查中针对每个2连接的组件每个顶点是否连接来完成。 $v$ $G_i$ $G_i-v$
将每个2个连接的组件分成3个连接的组件。这可以在多项式时间检查中针对每个2个连接的分量两个不同的顶点完成 $v,u$ $G_i$ 是否连接。 $G_i-\{ v,u \}$

我们已经减少了检查图形的3个连接的分量是否为平面的问题。令表示3连接的分量。 $G$

$C$ $G$
$C$ $D$
$D$
$U$ $G-V(C)$ $D$ $G[U\cup V(C)]$ $G$ $F$ $D$ $G[U\cup V(C)]$ $C'$ $F$ $G$ $C'$ $C$ $C'$
$G$ $G$

备注：

争论Tutte的弹簧嵌入可以实现平面嵌入并不是一件容易的事。我喜欢Edelsbrunner和Harer的书《计算拓扑》中的演示文稿，但这仅适用于三角剖分。Colin de Verdiere在http://www.di.ens.fr/~colin/cours/algo-graphs-surfaces.pdf第1.4节中讨论了弹簧嵌入。一般参考文献是Linial，Lovász，Wigderson：橡皮筋，凸嵌入和图形连接。Combinatorica 8（1）：91-102（1988）。
通过高斯消除，很容易用多项式算术运算来求解线性方程组。使用多项式位数来解决它不是那么容易。

— 某人
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我编辑了答案以避免使用桥和重叠图。

— 某人

假设每个3个连接的组件都可以嵌入。那么我们可以推断出原始图呢？使用那个3连通图最多有一个嵌入，也许我们可以从这里结束，但是这一步也必须完成。

— domotorp 2014年

最后，在第4步中，非平面图中的面是什么？我想这仍然可以自然地定义。最后，“ Else G不是平面的”确实看起来并不平凡。

— domotorp 2014年

D

$D$

G [U \cup V (C)]

$G[U\cup V(C)]$

G

$G$

我们对此表示同意，但我不认为这有什么帮助。

— domotorp 2014年

3

Boyer和Myrvold算法被认为是最新的平面度测试算法

在最前沿：通过Boyer和Myrvold的“ 边加法”简化O（n）平面度。

这本书章节调查显示，许多平面测试算法，希望你找到足够简单的算法。

— 穆罕默德·图尔克斯坦尼
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我对平面度算法的前沿不感兴趣，我想要一些容易解释的东西。我也找不到比书中的Demoucron，Malgrange和Pertuiset（DMP）算法更简单的东西。

— domotorp 2014年

0

Hopcroft和Tarjan的1974算法{1}呢？

{1} Hopcroft，John和Robert Tarjan。“高效的平面度测试。” ACM杂志（JACM）21.4（1974）：549-568。

— 阿里·特拉希滕贝格
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这是一种快速而不是简单的算法。

— domotorp 2014年

0

两种算法，都在LogSpace中

Eric Allender和Meena Mahajan-平面测试的复杂性
Samir Datta和Gautam Prakriya-重新进行平面测试

第二个比第一个简单得多。

— 匿名
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一点都不简单。

— domotorp 2014年