只有图灵完整的语言才能解释的总语言

图灵不完整的任何语言都不能为其自身编写解释器。我不知道在哪里读到它，但是我已经看过很多次了。看来这引起了一种“最终的”非图灵完整的语言。该一个（或多个），可以只由图灵机解释。这些语言不一定能够计算从自然到自然的所有总函数，也不一定是同构的（即最终语言A和B存在，使得存在函数A可以计算但B无法计算的函数F）。Agda可以解释Godel的系统T，而Agda则是完整的，因此这种最终语言应严格比Godel的系统T更强大。在我看来，这种语言也至少会像agda一样强大（尽管我没有证据，只是预感）。

有没有做过这样的研究？已知什么结果（即已知这种“最终”语言）？

奖励：我担心存在一种病理情况，无法计算出功能，而Godel的System T仍然只能由Turing机器解释，因为它允许计算某些真正的奇数函数。是这种情况还是我们可以知道，这种语言将能够计算Godel的System T可以计算的任何内容？

这是一个措辞不佳的问题，因此让我们首先理解一下。我将以可计算性理论的风格来做。因此，我将使用数字而不是字符串：一段源代码是数字，而不是符号字符串。它并不真正的问题，您可以替换用小号牛逼[R 我ñ 摹贯穿以下。$\mathbb{N}$$\mathtt{string}$

让是一个配对功能。$\langle m, n\rangle$

让我们说，一个编程语言由以下给出的数据：$L = (P, ev)$

1. 一个可判定集的“合法程序”，和$P \subseteq \mathbb{N}$
2. 一个可计算和局部功能。$ev : P \times \mathbb{N} \to \mathbb{N}$

的事实，是可判定的装置有一个总可计算地图v 一个升我ð ：Ñ → { 0 ，1 }，使得v 一个升我ð （Ñ ）= $P$$valid : \mathbb{N} \to \{0,1\}$。非正式地，我们说的是可以判断给定的字符串是否是有效的代码。函数 e v本质上是我们语言的解释器： e v （m ，n ）在输入 n上运行代码 m –结果可能不确定。$valid(n) = 1 \iff n \in P$$ev$$ev(m,n)$$m$$n$

现在我们可以介绍一些术语：

1. 语言是总如果是所有总功能米∈ P。$n \mapsto ev(m,n)$$m \in P$
2. 甲语言解释语言大号2 = （P 2，ë v 2）如果存在Ü ∈ P 1，使得Ë v 1（Û ，⟨ Ñ ，米⟩ ）≃ È v 2（ñ ，米）对于所有ñ ∈ $L_1 = (P_1, ev_1)$ $L_2 = (P_2, ev_2)$$u \in P_1$$ev_1(u, \langle n, m \rangle) \simeq ev_2(n, m)$$n \in P$和。这里ü是模拟器大号2中实现大号1。它也被称为通用程序为大号2。$m \in \mathbb{N}$$u$$L_2$$L_1$$L_2$

“ 解释L 2 ”的其他定义是可能的，但让我现在不作介绍。$L_1$$L_2$

我们说，和大号2是，如果他们解释相互等同。$L_1$$L_2$

有“最强大的”语言图灵机的（你称之为“图灵机”），其中Ñ ∈ Ñ是图灵机和的编码φ （Ñ ，米）是部分可计算函数“ 在输入m上运行由n编码的图灵机”。显然，由于我们要求e v是可计算的，因此该语言可以干扰所有其他语言。$T = (\mathbb{N}, \varphi)$$n \in \mathbb{N}$$\varphi(n,m)$$n$$m$$ev$

我们对编程语言的定义非常轻松。为了满足以下条件，让我们再要求三个条件：

• 实现后继函数：有 š Ü Ç Ç ∈ P使得 Ë v （š ü Ç Ç ，米）= 米+ 1的所有米∈ Ñ，$L$$succ \in P$$ev(succ,m) = m+1$$m \in \mathbb{N}$
• 实现了对角线函数：有 ð 我一克∈ P使得 Ë v （d 我一克，米）= ⟨ 米，米⟩所有米∈ Ñ，$L$$diag \in P$$ev(diag,m) = \langle m, m \rangle$$m \in \mathbb{N}$
• 下的功能组成关闭：如果大号器具 ˚F和克然后它还实现 ˚F ∘ 克，$L$$L$$f$$g$$f \circ g$

一个经典的结果是：

定理： 如果一种语言能够自我解释，那么它就不是全部。

证明。假设为总的langauge通用程序大号中实现大号，即，对于所有米∈ P和Ñ ∈ Ñ， È v （Û ，⟨ 米，Ñ ⟩ ）≃ È v （米，Ñ ）。 作为后继，对角线，和ë v （Û ，- ）以实现大号，所以是它们的组成ķ $u$$L$$L$$m \in P$$n \in \mathbb{N}$

$$ev(u, \langle m, n \rangle) \simeq ev(m, n).$$ $ev(u, {-})$$L$。存在 Ñ 0 ∈ P使得 Ë v （Ñ 0，ķ ）≃ È v （Û ，⟨ ķ ，ķ ⟩ ）+ 1，但随后 È v （Û ，⟨ Ñ 0，Ñ 0 ⟩ ）≃ È v $k \mapsto ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$$n_0 \in P$$ev(n_0, k) \simeq ev(u, \langle k, k \rangle) + 1$ 由于没有数等于其自身的后继者，它遵循大号不是总或大号不解释本身。QED。 $$ev(u, \langle n_0, n_0\rangle) \simeq ev(n_0, n_0) \simeq ev(u, \langle n_0, n_0 \rangle) + 1$$ $L$$L$

观察到我们可以用任何其他无定位点的映射替换后继映射。

这是一个小定理，我认为这将消除误解。

定理： 每种总语言都可以用另一种总语言解释。

证明。令为总语言。我们一共拿到了大号“其解释大号由毗邻大号其评估è v。更精确地，让P ' = { ⟨ 0 ，Ñ ⟩ | Ñ ∈ P } ∪ { ⟨ 1 ，0 ⟩ }并且定义ë v '为 ë v '（⟨ b ，Ñ ⟩ ，$L$$L'$$L$$L$$ev$$P' = \{\langle 0, n\rangle \mid n \in P\} \cup \{\langle 1, 0\rangle\}$$ev'$ 显然，大号'是总因为大号是总。要看到，大号'可以模拟大号只是采取 ü = ⟨ 1 ，

$$ev'(\langle b, n \rangle, m) = \begin{cases} ev(n,m) & \text{if $b = 0$},\\ ev(m_0, m_1) & \text{if $b = 1$ and $m = \langle m_0, m_1 \rangle$} \end{cases}$$ $L'$$L$$L'$$L$，从此以后 È v '（Û ，⟨ 米，Ñ ⟩ ）≃ È v （米，Ñ ），根据需要。QED。$u = \langle 1, 0\rangle$$ev'(u, \langle m, n\rangle) \simeq ev(m, n)$

练习： [2014年6月27日新增] 上面构造的语言构成上并未封闭。修复定理的证明，这样大号'满足额外的要求，如果大号做。$L'$$L'$$L$

换句话说，您永远不需要图灵机的全部功能来解释总语言 –稍微强大一点的总语言L '就足够了。语言L '的语言严格来说比L更强大，因为它可以解释L，但是L不会自我解释。$L$$L'$$L'$$L$$L$$L$

图灵不完整的任何语言都不能为其自身编写解释器。

这句话是不正确的。考虑一种编程语言，其中每个字符串的语义是“忽略您的输入并立即暂停”。这种编程语言不是图灵完整的，但是每个程序都是该语言的解释器。