最小可分解分解

给定两个多面体和Q，P和Q，如果有多面体的有限集是equidecomposable P 1，... ，P Ñ和Q 1，... ，Q Ñ使得P 我和Q 我是所有全等我，P = ∪ ñ 我= 1个 P 我和Q = ∪ ñ 我= 1个$P$$Q$$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$P_i$$Q_i$$i$$P = \cup_{i=1}^n P_i$。已知如果 P和 Q是等面积的多边形，则始终存在这样的等分分解，并且通常对于较大的尺寸不成立。 $Q = \cup_{i=1}^n Q_i$$P$$Q$

我对最小分解问题的复杂性感到好奇：

对于两个多边形和Q，找到一个equidecomposition P 1，... ，P ñ和Q 1，... ，Q ñ最小化ñ。$P$$Q$$P_1, \ldots, P_n$$Q_1, \ldots, Q_n$$n$

是否有算法（精确，多项式，指数，逼近）？是否知道复杂性？

对于具有整数坐标的不连续的一维区域，通过容易地减少为3SUM，将等分分解为最小数量是很困难的NP：如果一个形状的段长度为3SUM输入，而另一个形状的段长度为bin。您必须将它们打包，然后在3SUM实例可解决的情况下无需额外切割即可完成。对于二维多边形，即使对于连接的区域，它也仍然很坚硬：将一维问题的线段加厚为单位高度的矩形，并通过细小的“字符串”将它们连接起来，这些字符串的面积太小而无法影响问题的3SUM部分但在分解中很容易处理。

（免责声明：我从一些尚未出版的与其他许多人就某些其他问题的严重性的联合工作中借用了这种简化的想法。）