秘书招聘游戏

这是古典秘书问题的延伸。

在招聘游戏中，您有一组候选人 $\mathcal C=\{c_1,\ldots,c_N\}$ ，以及每个工人的技术水平。

博客，我们假设 $c_1$ 是最熟练的，其次 $c_2$ 等

随机选择候选人面试的顺序，雇主显然不知道该顺序。

现在假设您有一个拥有2个潜在雇主的市场。在每一轮中，都有一位新候选人为两家公司面试（称他们为 $A,B$ ）。在面试中 $A$ 和 $B$ 观察所有过去的候选人（包括当前的受访者）的部分排序。然后，公司（独立地）决定是否雇用今天的申请人。

不幸的是 $B$ ，无法与之进行财务竞争 $A$ 的要约，因此，如果双方都向工人提供了要约， $A$ 获得偏好。

同样，一旦秘书签字，公司可能不再面试任何其他候选人，而竞争对手也意识到了签字。

每家公司的目标是聘请技术水平更高的候选人（与经典的问题相反，传统的问题是单个公司希望找到最好的秘书），因为众所周知，拥有更好秘书的公司应该能够接任市场。

大公司的最佳策略是什么（ $A$ ）？

那小公司呢（ $B$ ）？

如果两家公司都采取均衡战略，那么几率是多少 $B$ 得到更好的工人？

在相关工作中，Kalai等人。讨论了该问题的对称版本，两家公司在吸引候选人方面具有相同的权力。

在这种情况下，简单（对称）均衡是您聘请秘书，前提是她要比其余候选人更好的机会至少为50％。

结果如何改变我们的设置？

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— RB
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对于公司 $A$ /公司/巨人公司/“大型制药公司” /“ THE MAN”，策略从对称版本不变：

考虑一个回合，在此回合中仅看到较少候选人的概率为 $> .5$ 。如果公司 $A$ 留住候选人，然后就有机会获胜 $> .5$ 。如果 $A$ 没有保留候选人，然后是公司 $B$ 可以雇用候选人和公司 $A$ 有机会中奖 $< .5$ 。所以，显然，公司 $A$ 会雇用（和公司 $B$ 在这种情况下会尝试雇用）。

对于获胜几率完全相同的候选人 $.5$ ， $A$ 可能会或可能不会选择雇用，但是 $B$ 会选择雇用，因为 $B$ 永远不可能比 $.5$ 。

如果公司 $A$ 在看到有机会获胜的候选人之前被雇用 $>= .5$ ，那么存在更好的未来候选人的可能性（因此 $B$ 获胜）将 $> .5$ 。所以 $A$ 在看到有可能赢得赔率的候选人之前不会雇用 $>= .5$ 。

因此， $A$ 的策略与对称情况相同：雇用第一个产生胜算的候选人 $> .5$ 。

$B$ 的策略是 $A$ 的策略显然，如果 $A$ 在（之前或之前）雇用 $B$ ，然后 $B$ 公司的策略是雇用下一个比 $A$ 的，如果有的话。此外，如果候选人的获胜赔率是 $> .5$ ， $B$ 应该尝试雇用，即使 $A$ 也将尝试雇用（并强迫 $B$ 继续寻找）。

剩下的唯一问题是：它是否有益于 $B$ 在获胜的机率是 $<= .5$ 。答案是：是的。

直觉上说，有一轮，与候选人获胜的几率是 $.5 - \epsilon$ 。另外，“很有可能”（稍后解释）获胜赔率的未来候选人 $> .5 + \epsilon$ 。那会受益 $B$ 选择较早的候选人。

让 $d_r$ 成为全面面试的候选人 $r$ 对所有人 $1 <= r <= N$ 。

正式， $B$ 的策略是：“雇用 $d_r$ 如果这样做的话，胜出的机率要比没有。”以下是我们如何计算这样的决定的方法。

让 $p_{r,i}$ 是面试和录用后中奖的概率 $d_r$ 给定 $d_r$ 是个 $i$ 最佳面试候选人。然后：

$p_{r,i} =$ 的可能性 $d_s < d_r$ 对于 $s > r$

$= (1-\frac{i}{r+1})(1-\frac{i}{r+2})\times ... \times (1-\frac{i}{N})$

...

$= \frac{(N-i)!r!}{(r-i)!N!}$

尤其是 $p_{r,i}$ 可以很容易地计算出恒定的精度。

让 $P_{B,r}$ 成为 $B$ 胜诉，因为两家公司都没有聘用 $1$ 通过 $r-1$ 。

然后 $B$ 会雇用 $d_r$ 如果录用后有中奖的可能性 $d_r$ 胜过 $P_{B,r+1}$ 。

注意 $P_{B,N} = 0$ ，因为如果是最后一轮，那么 $A$ 保证雇用和 $B$ 不会雇用任何人而松散。

然后，在圆 $N-1$ ， $B$ 保证会尝试雇用，除非会成功 $A$ 雇用。所以：

P_{B, N - 1} = \sum_{i = 1}^{N - 1} \frac{1}{N - 1} {\begin{array}{lcl} p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} < .5 \\ 1 - p_{N - 1, i} & : & p_{N - 1, i} >= .5 \end{array}

$P_{B,N-1} = \sum_{i=1}^{N-1}\frac{1}{N-1} \left\{ \begin{array}{lcl} p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} < .5 \\ 1-p_{N-1,i} & : & p_{N-1,i} >= .5 \end{array} \right.$

这导致了递归函数：

P_{B, r} = \sum_{i = 1}^{r} \frac{1}{r} {\begin{array}{lcl} 1 - p_{r, i} & : & p_{r, i} >= .5 \\ p_{r, i} & : & P_{B, r + 1} < p_{r, i} < .5 \\ P_{B, r + 1} & : & else \end{array}

$P_{B,r} = \sum_{i=1}^{r}\frac{1}{r} \left\{ \begin{array}{lcl} 1-p_{r,i} & : & p_{r,i} >= .5 \\ p_{r,i} & : & P_{B,r+1} < p_{r,i} < .5 \\ P_{B,r+1} & : & \text{else} \end{array} \right.$

很明显 $P_{B,r}$ 可以在多项式时间内计算出恒定的精度。最后一个问题是：“ $B$ 赢了吗？”答案是 $P_{B,1}$ 并随 $N$ 。

关于多久一次的问题 $B$ 赢得？我还没有精确计算，但是看着 $N$ 从1到100，似乎 $N$ 成长， $B$ 的获胜率接近.4左右。由于我只是做了一个快速的python脚本来检查并且没有密切关注浮点数舍入错误，所以此结果可能会关闭。最终的实际硬限制为0.5可能很好。

— 贝乔
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