立顿最具影响力的结果

理查德·立普顿（Richard J. Lipton ）被评选为2014年Knuth奖 “新思想和新技术介绍” 的获得者。

您认为立顿开发的主要新思想和新技术是什么？

注意。这个问题将成为社区Wiki，请为每个答案提出一个这样的想法，技巧或结果。

的平面分离定理指出，在任何平面$n$ -点图形$G$存在一组的移除了顶点的图的顶点断开了至少两个大致平衡的分量的连接。此外，可以在线性时间内找到这样的集合。Lipton和Tarjan（对Ungar先前的结果进行了改进）证明了这一（紧）结果，是设计平面图算法的强大工具。它为NP-hard问题提供了许多精确的次指数时间算法以及改进的多项式时间逼近算法。查看Wikipedia页面为探索众多应用程序提供了一个很好的起点。Lipton和Tarjan在1980年撰写了一份早期调查，其中详细介绍了许多应用程序。$O(\sqrt{n})$

Karp-Lipton定理指出，除非多项式层次结构崩溃到第二级，否则不能具有多项式大小的布尔电路。$\mathsf{NP}$

该定理对复杂性理论的两个含义：

• 可能没有多项式大小的布尔电路；因此，证明电路尺寸的下限是分离复杂度等级的一种可能方法。$\mathsf{NP}$
• 基于此定理的几个结果证明了复杂度类的分离（例如Kannan定理）。

永久随机的自可约性。立顿（Lipton）指出，如果存在一种能够正确计算所有F n × n的分数的永久值的算法，其中F是大小至少为3 n的有限域，那么该算法可以用作黑盒，以高概率计算任何矩阵的永久性。$1-1/(3n)$$\mathbb{F}^{n\times n}$$\mathbb{F}$$3n$

主要思想是永久性是一个低次多项式，因此其具有一元仿射函数是一个低次单项多项式（x），可以通过内插从少量值中精确地获知。您可以选择一个随机B，以便该成分作为任意x的随机矩阵的永久分布。在x = 0时，单变量多项式只是A的永久性。可以在Arora Barak的第8章中找到详细信息。$A + xB$$x$$B$$x$$x = 0$$A$

这种代数方法在复杂性理论中极具影响力。立顿的思想最终导致了IP = PSPACE定理的证明，PCP定理的证明，并得出了本地纠错码的结果。

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突变测试是Lipton发明的。变异测试可以看作是衡量测试套件质量或有效性的一种方法。关键思想是将故障注入到要测试的程序中（即使程序变异），最好是人类程序员可能会产生的各种故障，并查看测试套件是否找到了引入的故障。引入的故障突变测试类型的典型示例可能是用x <0替换x> 0，或用x + 1或x-1替换x。测试套件捕获的故障分数是测试套件的“突变充分性评分”。说得很松散，可以认为这是一种用于计算突变充分性评分的蒙特卡洛方法。

可以更抽象地说，变异测试将程序与其测试套件之间的对称性或对偶性脱颖而出：不仅可以使用测试套件对程序的正确性更有信心，而且相反，程序可以用来增强对测试套件质量的信心。

鉴于这种双重性，从概念上讲，变异测试也接近故障注入。两者在技术上相似，但用途不同。变异测试旨在衡量测试套件的质量，而故障注入则旨在确定程序的质量，通常是其错误处理的质量。

最近，来自变异测试的思想已被用于测试逻辑理论（形式化）。简述（4）的摘要：在定理证明者中开发非平凡的形式化时，有相当多的时间用于“调试”规范和定理。通常，在失败的证明尝试期间会发现不正确的规格或定理。这是一种昂贵的调试形式。因此，在进行证明之前测试猜想通常很有用。一种可行的方法是将随机值分配给猜想的自由变量，然后对其进行评估。（4）使用变异来测试所用测试用例生成器的质量。

历史。从（1）：突变测试的历史可以追溯到1971年Richard Lipton在一份学生论文中。该领域的诞生还可以在Lipton等人在1970年代后期发表的其他论文中得到证实。（2）以及“哈姆雷特（3）”。

1. 变异测试资料库：变异测试理论。

2. RA DeMillo，RJ Lipton，FG Sayward，关于测试数据选择的提示：对程序员的帮助。

3. RG Hamlet，借助编译器进行测试程序。

4. S. Berghofer，T。Nipkow，在Isabelle / HOL中进行随机测试。。

Schwartz-Zippel-DeMillo-Lipton Lemma是解决算术复杂性的基本工具：它基本上表明，如果您想知道算术电路是否代表零多项式，则只需要评估一个输入上的电路即可。如果电路不代表零多项式，则很有可能获得非零值。

由于没有多项式时间确定性算法可解决此问题，因此这是一个特别重要的引理。

引理通常称为Schwartz-Zippel Lemma。可以在Lipton自己的博客中找到该引理的历史。

向量加法系统的可覆盖性是EXPSPACE很难的：在RJ Lipton中，可达性问题需要指数空间，研究报告63，耶鲁大学，1976年。

$d$$\langle v_0,A\rangle$$v_0$$\mathbb{N}^d$$A$$\mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$v\to v'$$u$$A$$v'=v+u$$v'$$v$$\mathbb{N}^d$$v_0\to v_1\to\cdots\to v_n$$v_n\geq v$$\mathbb{N}^d$$v_n(i)\geq v(i)$$1\leq i\leq d$。结合1978年C.Rackoff证明的EXPSPACE上限，Lipton的结果表明EXPSPACE的完整性。

$v_n=v$

Ashok K.Chandra，Merrick L.Furst和Richard J.Lipton在《多方协议》（STOC 1983，doi：10.1145 / 800061.808737）中引入了多方通信的复杂性和额头模型。

多方模型是Yao的两方通信复杂性模型的自然扩展，其中Alice和Bob各自具有一半的输入位不重叠，并希望进行通信以计算整个输入的预定函数。但是，将输入位的分区扩展到更多的参与方通常不是很有趣（对于下限，通常只能考虑前两个参与方）。

$k$$k$$n$

$n$

$N$$k$$N$$k=3$$N$$O(\sqrt{\log N})$$N \le k(2^n-1)$$O(\sqrt{n})$

$^0$

$N$