在优化中放宽约束

我有一个可行性问题，可以如下所述。我在维向量空间中得到了一个点，我想找到最接近点，它满足以下形式的一组“约束” $p$ $d$ $q$ $p$ $\ell_0$

给定集合，最多可以为非零。 $S \in [1\ldots d]$ $\{q_j, j \in S\}$

紧密度的概念各不相同，但是现在假设这样的方便距离就足够了。 $\ell_2^2$

在提供“足够接近”的多边形以近似原始约束的意义上，是否存在对线性约束的任何已知松弛，即“好”，在这里我对“足够接近”的定义也相当灵活

ds.algorithms approximation-algorithms linear-programming

约束是否被允许非线性地依赖于？

p

$p$

— 沃伦·舒迪

您能详细说明您要寻找哪种多聚体吗？具有最多一个非零坐标的个点的可行点的凸包是，因此不希望对可行点的集合进行良好的多面近似。

q

$q$

R^{d}

$\mathcal{R}^d$

q

$q$

— 沃伦·舒迪

如果是事先已知的，那么对于任意距离恒定的恒定可以很容易地计算是内的可行点的（看着仅单个约束）。对于某些度量，可行点将是多表位的并集；对于其他人，您可能必须以此近似或使用分隔符。然后编写线性约束，对在其凸包内进行编码。

p

$p$

δ

$\delta$

δ

$\delta$

p

$p$

q

$q$

— 沃伦·舒迪

@warren：约束线性依赖于p，但p本身不是常数（而是问题的输入）。这些约束是上述种类，或者是q_i上的线性约束。

— Suresh Venkat 2010年

我不知道如果我理解正确的问题，但因为是写，这个问题似乎承认一些简化，特别是在ℓ问题₂²的情况下，相当于最小重量顶点覆盖，如果我没有弄错。

不失一般性，我们可以假定| S | = 2在每个约束中，因为约束| S |> 2等效于约束集，其中S遍历原始集合S中的所有元素对。因此，ℓ ₀约束可被可视化为图ģ与d的顶点。使用图G可以重新定义约束条件如下：与q _i = 0 的坐标i对应的一组顶点必须是G的顶点覆盖。
假设该距离由ℓ定义₂²或一些准则。在这种情况下，任何点q可以转化到一个点q '，其满足对于每个我，q ' _我 ∈{0，p _我 }，简单地通过设置并且此变换永远不会增加与点p的距离。特别是，如果该距离是坐标方向距离的总和（如₂²距离的情况），则问题与最小权重顶点覆盖完全相同。 $q_{i}^{'} = {\begin{cases} p_{i}, & q_{i} \neq 0, \\ 0, & q_{i} = 0, \end{cases}$ $q'_i = \begin{cases} p_i, & q_i \ne 0, \\ 0, & q_i = 0, \end{cases}$

对于顶点覆盖问题的LP松弛，快速搜索可以找到例如Uriel Feige的讲义（第9讲）。

— 伊藤刚
source

非常有趣。我喜欢关于| S |的观察不需要超过2

— Suresh Venkat 2010年

有一件事情是行不通的。变量通常可以是任意的（不在零和一之间）。因此，对于“设置为零的变量必须形成顶点覆盖”的情况，您不能真正对LP约束进行编码。这成为一个问题（我应该提到），因为在坐标上还必须包含其他（线性）约束。

— Suresh Venkat

@Suresh：如果您确实认为自己已经提到过它，则可以随时修改问题。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）2010年

@Suresh：我的意思是说“如果您真的认为应该提到它……”。

— 伊藤刚（Tsuyoshi Ito）