用多项式表示布尔函数

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假设我们有从一个布尔函数。清楚的是，一个真正的多元多项式，使得上可以是多线性。有哪些有趣的布尔函数类，其最小度为 $f:\{0,1\}^n\rightarrow\{0,1\}$ $p(x)$ $f(x)=p(x)$ $x\in\{0,1\}^n$ $p(x)$ 是已知的？我们有具体的例子吗？

boolean-functions

— T ...
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相关：cstheory.stackexchange.com/questions/25291/…–

— Andrej Bauer

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如果您不熟悉它，则有很多与“近似度”有关的工作，这会问“近似”

的多项式的最小度是多少？我不太了解具体的参考文献，但其他人会提供。

f

$f$

— 2014年

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与奇偶校验具有非零相关性的任何函数的。也就是说，如果，则唯一多线性膨胀包含单项式。确实，因为 $n$

\sum_{x \in {0, 1}^{n}} (- 1)^{\sum_{i} x_{i}} f (x) \neq 0

$\sum_{x \in \{0,1\}^n} (-1)^{\sum_i x_i}f(x) \neq 0$

f

$f$

x_{1} \dots x_{n}

$x_1\cdots x_n$

，的傅立叶展开

（表示在产品方面

(- 1)^{x_{i}} = \frac{1 - x_{i}}{2}

$(-1)^{x_i} = \frac{1-x_i}{2}$

f

$f$

）将包含项

\frac{1 - x_{i}}{2}

$\frac{1-x_i}{2}$

，相应的单项式

不会在其他任何术语中出现。

\prod_{i} \frac{1 - x_{i}}{2}

$\prod_i \frac{1-x_i}{2}$

\prod_{i} x_{i}

$\prod_i x_i$

Nisan和Szegedy证明了函数最多取决于变量。对于我们可以更精确：函数必须最多取决于一个坐标。 $d$ $d2^d$ $d = 1$

— Yuval Filmus
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这是有用的一点。这个主题有什么好的参考？

— T ....

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您可以看一下Ryan O'Donnell的最新著作《布尔函数分析》。

— Yuval Filmus 2014年

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具有唯一的多线性表示形式的布尔函数类包含

实数上的伪布尔函数（定理1.34 [1]）
在单位立方体布尔函数 $[0,1]^n$

背景

“每个布尔函数都可以由析取范式和共轭范式表示。” （定理1.4（p.16 [1]）

$\vee (\wedge {x} \wedge \bar{x} )$ $\vee (\prod x \prod (1-x))$ $\sum c \prod x$ $F$ $\mathcal B^n$ $\mathcal P(N)$ $\oplus$ $f(x_1,\ldots,x_n)=\oplus_{A\in\mathcal P(N)} c(A)\prod_{i\in A} x_i$

及其应用程序包含

参考文献

[1]布尔函数理论，算法和应用（Yves Crama，Peter L. Hammer，2011）

— 嗯
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是的，显然。现在，如何回答这个问题？

— EmilJeřábek'16