Martin-Löf型理论的最小规范

我正在阅读Martin-Löfs类型理论的正式介绍（HoTT书的附录）。作者介绍宇宙，那么一个层次和也 -types以及自然数（感应通过和）。最终，它们也添加了更高的归纳类型。 $\Pi, \Sigma,+, {\bf 0}, {\bf 1}$ $W$ $\mathbb N$ $0$ $succ$

但是然后我想知道为什么在理论规范中必须做和以及代数数据类型是否具有类型就足以进行设置？例如，采用初始代数方法。（或者至少在我们从MLTT传递到HoTT之后，具有归纳类型-毕竟，整数在理论中以圆环类型同伦基团出现。） $\mathbb N$ ${\bf 1}$ $+$ $W$ $\mathbb Z$ $\mathbb S$

还是与我们从一开始就具有原始递归（在演示文稿中紧挨定义）有关？我之所以有这个主意，是因为我不太了解该框架中的“定义是如何定义的”，还是不正式地扩展语言的工作方式。我可能要补充一点，我认识到定义了宇宙的层次结构时，至少已经使用了一个非正式的数字和“更大”的概念。 $\mathbb N$

如果可以保留且规格不是最小，那么原则上还有其他项目可以丢弃吗？例如，我可以想像，然后从某种组合来，但我没能做到这一点。 $\mathbb N$ $\bf 2$ $+$ $\Pi, \Sigma, {\bf 0}, {\bf 1}$

type-theory

— 尼古拉·K
source

HoTT本书附录中描述的系统的目的是提供与本书所使用的内容相对应的内容。这本书的目的是为了教育。因此，以简约的方式进行所有操作将是一个坏主意。例如，我们单独介绍因为在熟悉的情况下了解归纳结构是如何工作的具有指导意义。 $\mathbb{N}$

您完全正确，要从一般类型开始归纳类型，您只需要和。你立即获得为，你会得到从和。一旦有了，就得到所有有限和。在这一点上，很容易进行通常的代数数据类型。 $W$ $0$ $2$ $1$ $0 \to 0$ $+$ $2$ $\Sigma$ $1 + 1 + \cdots + 1$

如果你把，让你从开始，，和，那么你就不能得到回来，因为每次你做类型将被居住。 $0$ $\Pi$ $\Sigma$ $1$ $2$ $0$

假设您只有，，和。然后，您将不能得出因为您可以证明所做的每个构造都使您返回或。实际上，您根本无法建立任何有趣的受抚养家庭。的类型的较大家族，其下关闭，，和，但不包含是 -types（命题）。 $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $0$ $1$ $\Pi$ $\Sigma$ $0$ $1$ $2$ $(-1)$

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

好的，谢谢您的回答。我想，

可在该框架内，由于

为每的定义可能

。虽然该功能

永远不会接受参数是尴尬的。

1 \equiv (0 \to 0)

${\bf 1}\equiv({\bf 0}\to {\bf 0})$

(λ x . x) : (0 \to 0)

$(\lambda x.x):({\bf 0}\to {\bf 0})$

Π

$\Pi$

λ x . x

$\lambda x.x$

— Nikolaj-K 2014年

可能有必要补充一下，

型在故意理论中提出了一些技术上的警告：请参见例如观察性平等，现在！。当存在Univalence公理时，其中的某些（全部？）不存在。

W

$W$

— 科迪2014年

我今天又在考虑这个问题。实际上，当我们说到MLTT或HOTT时，我想对于所有类型我们也具有相等性，所以我们可以得到

和

，对吗？

0

${\bf 0}$

1 =_{U} 2

${\bf 1}=_U{\bf 2}$

— Nikolaj-K

0

$0$

1 =_{U} 2

$1 =_U 2$

U

$U$

0

$0$

0

$0$

Π

$\Pi$

Σ

$\Sigma$

1

$1$

2

$2$

0

$0$

Π

$\Pi$