路径宽度比树宽度的算法优势

树宽在FPT算法中起着重要作用，部分原因是许多问题是通过树宽参数化FPT的。一个更严格的相关概念是路径宽度。如果图的路径宽度为，则它的树宽度也最多为，而在相反的方向上，树宽仅仅意味着路径宽度最多为，这很紧密。 $k$ $k$ $k$ $k\log n$

鉴于以上所述，人们可以期望边界路径宽度的图形可能具有显着的算法优势。但是，对于一个参数来说，大多数问题是FPT，而对于另一个参数来说，似乎是大多数问题。我很想知道与此有关的任何反例，即对于路径宽度“容易”但对于树宽“困难”的问题。

让我提及，我被Igor Razgon撰写的最近一篇论文（“关于有界树宽的CNF的OBDDs”，KR'14）所激发，提出了一个有关问题的示例。溶液时是pathwidth和（粗略地）下界时是树宽。我想知道是否还有其他标本行为。 $2^{k}n$ $k$ $n^k$ $k$

简介：有没有自然问题的示例，这些问题是由树宽参数化为W困难，而由路径宽度参数化为FPT？更广泛地讲，是否存在一些示例的问题，这些问题的复杂度在用路径宽度（而不是树宽）进行参数化时被认为/被认为会更好？

parameterized-complexity treewidth graph-minor

— 迈克尔·兰皮斯
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有些问题在路径上很容易解决，但在树上却很难解决。这些包括最小多重切割和最大整数多重流。

— Chandra Chekuri 2014年

@ChandraChekuri这是一个很好的观点，但是针对此类问题的路径算法通常是否推广到路径宽度？例如，对于最大整数多流，我认为并非如此。Garg，Vazirani和Yannakakis在“树中积分流和多割的原始对偶逼近算法”中证明了树的NP硬度。在那里的归约使用高度为3的树。这意味着对于恒定的路径宽度，问题是NP难的。

— Michael Lampis 2014年

再次这不是对原始问题的明确答案。通过Lee和Sidiropoulos的结果，对于某些函数f，已知在路径宽度k图中的切流间隙由f（k）界定。这样的结果是否适用于树宽是一个重要的开放性问题。k = 3的情况对于树宽是开放的。

— Chandra Chekuri 2014年

由路径宽度参数化的汉密尔顿周期的最佳算法具有运行时间

(2 + \sqrt{2})^{p w}

$(2+\sqrt{2})^{pw}$

4^{t w}

$4^{tw}$

$W[1]$ $G$ $1$ $W[1]$

$G$ $T = \{T_1, . . . , T_t\}$ $T_i ⊆ V(G)$ $p$ $k$ $S$ $k$ $T_i$ $G \ S$

$W[1]$ $k$ $p = 3$ $tw(G) = 2$

[1] https://core.ac.uk/download/pdf/77298274.pdf

[2] http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2015/4911/pdf/11.pdf

— 徐汝培
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