是否有一个可以实现

我正在考虑有关精确量子算法的想法。特别是，我正在考虑可能限制，它由在任意有限门集上由多时统一量子电路族完全可确定的语言组成。$\mathsf{EQP}$

由F N = 1给出的量子傅立叶变换（QFT） 是量子计算理论的一个著名的一部分。在的情况下 Ñ = 2 Ñ，有公知的分解 ˚F Ñ成Hadamards，SWAP门和对角线栅极 Ç ž 2 Ť = ð 我一克（1 ，1 ，1 ，ë 2 π 我/ 2

$$F_N = {\frac{1}{\sqrt N} \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1& \cdots & 1 \\ 1 & \omega & \omega^2 & \omega^3 & \cdots & \omega^{N-1} \\ 1 & \omega^2 & \omega^4 & \omega^6 & \cdots & \omega^{N-2} \\ 1 & \omega^3 & \omega^6 & \omega^9 & \cdots & \omega^{N-3} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & \omega^{N-1} & \omega^{N-2} & \omega^{N-3} & \cdots & \omega^{(N-1)^2} \end{bmatrix}} \quad\text{for $\omega = \mathrm e^{2\pi i/N}$},$$ $N = 2^n$$F_N$ $$\mathrm{CZ}_{2^T} = \mathrm{diag}(1,1,1,\mathrm e^{2\pi i/2^T\!})$$ $T \geqslant 1$$\mathsf{EQP} \smallsetminus \mathsf{P}$$F_{2^n}$$F_{2^n}$$\mathrm{CZ}_{2^n}$

显然，根据Solovay-Kitaev定理，我们可以对任意门近似或任意近似地求逆，并且可以任意近似地对它进行近似。我想知道的是，是否存在一个可以精确实现这些操作员系列的有限门集；或者，我怀疑更有可能是，是否有证据表明不存在这种有限门集。$F_{2^n}$$\mathrm{CZ}_{2^n}$

题。 是否存在的分解，作为有限门集上的多重时间均匀电路族，还是证明这是不可能的？$\{ F_{2^n} \}_{n \geqslant 1}$

不，没有将整个分解为一个有限的门集。这就是为什么。$\{F_{2^n}\}_{n\geqslant1}$

QFT仅涉及（有理数的复数代数闭合）上的系数。类似于[ Adleman + Demarrais + Huang–1997 ]，如果我们涉及包含任何先验数字的任何门，我们可以选择最小的先验集合并描述门系数本质上是有理函数。为了获得作为此类门的乘积的QFT，我们必须安排所有先验成分抵消（必须进行类似的操作以确保每个门都是一体的）。但是我们最好用代替所有先验者$\overline{\mathbb Q}$$\{\tau_1, \tau_2, \ldots\}$$\overline{\mathbb Q}(\tau_1, \tau_2, \ldots)$$0$，因此所有系数都是代数的。因此，我们在不失一般性的情况下将自己局限于代数门集。

有限栅极组的系数超过可以全部被包含在一个有限度的扩展，其中一个可以通过扩展构造由那些非常系数。然而，栅极显然有属于场扩展超过系数度的无界度，即。因此，阶的QFT族不会分解成任何有限的门集。$\overline{\mathbb Q}$$\mathbb Q$$\mathbb Q$$\mathrm{CZ}_{2^n}$$\mathbb Q$$2^{n-1}$$2^n$

因此，我们当然不能希望有任何算法依赖于无限制大小的环上的QFT －请注意，对于任何可能使用任意阶数QFT的电路系列，都会出现相同的问题。$\mathsf{EQP}$