决定性证据是否平等？

我想知道是否可以在归纳构造微积分中没有任何其他公理的情况下证明同一命题的两个可判定证明的相等性的可判定性。

具体来说，我想知道在Coq中没有任何其他公理的情况下这是否成立。

\forall P : Prop, P \lor \neg P \Rightarrow (\forall p_{1} : P, \forall p_{2} : P, {p_{1} = p_{2}} \lor {p_{1} \neq p_{2}})

$\forall P: \texttt{Prop}, P \vee \neg P \Rightarrow (\forall p_1 : P, \forall p_2: P, \{p_1 = p_2\} \vee \{p_1 \neq p_2\})$

谢谢！

编辑以更正错误：编辑2使其Prop更明确

coq constructive-mathematics calculus-of-constructions

— 亚当·巴拉克
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你写的东西没有道理。如果

P

$P$ 然后是一个命题

p : P

$p : P$ 是证明，你不能形成

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$ 。你是说你的假设是

P \lor \neg P

$P \lor \lnot P$ 代替

p \lor \neg p

$p \lor \lnot p$ ，即“

P

$P$ 是可以决定的？”

— Andrej Bauer 2014年

抱歉，我的意思是“

P

$P$ 是可以决定的”，即

P \lor \neg P

$P \vee \neg P$

— 亚当·巴拉克

采取

P

$P$ 成为

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ ，并且该语句为假，因为您可以轻松地居住

(N \to N) \lor \neg (N \to N)

$(\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \vee \lnot(\mathbb{N} \to \mathbb{N})$ 与

i n l (λ x . x)

$\mathsf{inl}(\lambda x.\;x)$ ，功能对等显然是不确定的。还有其他条件吗

P

$P$ 你有想法吗？

— Neel Krishnaswami 2014年

P应该是一个命题。（实际上，在我的开发中，我已经使用了功能扩展性，因此该语句对我来说仍然成立，但是现在让我们忽略功能/命题扩展性）。

— 亚当·巴拉克

函数扩展性并不意味着函数对等是可决定的... Neel的回答解决了一般情况：如果P是一个（有人居住的）无限类型（如果不包括额外的公理，则它包括某些类型的命题），则蕴涵失败保持

P \to P

$P\rightarrow P$ 。

— 科迪2014年

正如Neel指出的，如果您在“命题是类型”下工作，那么您可以轻松地提出一个其相等性无法确定的类型（但是假定所有类型都具有可确定的相等性当然是一致的），例如 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 。

如果我们将“命题”理解为一种更受限制的类型，那么答案取决于我们的确切含义。如果您正在用一种Prop类型进行构造演算，那么您仍然无法证明可决定的命题具有可决定的相等性。之所以如此，是因为在构造的演算中，它等同于Prop与证明相关的类型宇宙，因此对于您所知的所有内容Prop可能包含 $\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 。这也意味着您无法证明Coq的定理Prop。

但是无论如何，最好的答案来自同伦类型理论。命题是一种类型 $P$ 满足

\forall x, y : P . x = y .

$\forall x, y : P \,.\, x = y.$ 也就是说，一个命题最多包含一个要素（如果将其理解为与证明无关的真值，则应该如此）。在这种情况下，答案当然是肯定的，因为命题的定义立即意味着其平等性是可决定的。

我很好奇您对“主张”的意思。

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
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你会有什么

N \to N

$\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ 在里面Prop？谢谢！

— 亚当·巴拉克

构造演算中没有什么可以阻止

P r o p = T y p e

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}$ ，在那儿？

— Andrej Bauer

这里的困惑是关于“ coq系统”的含义。如果是“构造的微积分”，那么

P r o p = S e t = T y p e

$\mathtt{Prop=Set=Type}$ 。如果更精确的“具有1个命令宇宙的归纳结构微积分”，那么

T y p e

$\mathtt{Type}$ 没有Universe级别的注释是没有意义的。我所知道的，

T y p e_{1} = P r o p

$\mathtt{Type_1=Prop}$ 是一个一致的公理（尽管出于微妙的原因与EM不一致）。

— 科迪2014年

当然，我们必须在

T y p e

$\mathtt{Type}$ 。@AdamBarak理解的重点是：

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ 不会导致Coq出现任何矛盾，我们可以通过表明如果我们也有可能导致矛盾来表明在Coq中无法完成某些事情

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ 。

— Andrej Bauer

仍然不太正确，因为在Coq中我们无法证明功能对等是不确定的。声明“平等

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 是决定性的”是马丁·埃斯卡多（Martin Escardo）所说的建设性禁忌：在Coq中既不能证明也不能反驳。所以正确的论据是：

P r o p = {T y p e}_{1}

$\mathtt{Prop} = \mathtt{Type}_1$ 然后

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 是一个命题，“

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 是可判定的”（无法证明。（您说过：“

N \to N

$\mathbb{N} \to \mathbb{N}$ 是可判定的”），

— Andrej Bauer