最小化接受 -words（即无限单词）的自动机

最小化Büchi-Automata（或Müller-Automata）的标准方法是什么？从有限的字上转移通常的技术，即，如果被接受的状态中的“用尽”字是相同的，则将两个状态设置为相等，将不起作用。例如，考虑Büchi-Automoton接受具有无限数量的a的所有单词，a包含两个状态，即初始状态和最终状态，并且每次读取a都会输入最终状态，而每次a都会输入初始状态读取了不同的符号。通过上面的定义，这两个状态被认为是相等的，但是将它们折叠会产生由单个状态组成的自动机，从而接受每个单词。

fl.formal-languages automata-theory

— 斯蒂芬·H
source

Answers:

通常，常规语言可能没有唯一的最小DBW。例如，语言“无限多个a和无限多个b”具有两个三态DBW（在图片中替换为）： $\omega$ $\neg a$ $b$ 同一语言的两个最小DBW

如您所见，它们在拓扑上并不等效。

因此，最小化问题比有限情况更难，实际上，它是NP完全的。

— 鲨鱼
source

我发现了三个三态确定性Büchi-Automata，两个在结构上非常相似（它们在过渡时的标签有所不同），但是您还是愿意为您的机器提供机器，以供比较：）感谢本文！

— StefanH 2014年

@Stefan-添加了示例。

— Shaull 2014年

左边的我也有，但是我也有另外一个，我将其发布为问题的编辑。

— StefanH 2014年

您添加的自动机不正确-它不接受单词

(b a b)^{ω} = b a b b a b b a b b a b . . .

$(bab)^\omega=babbabbabbab...$

— Shaull

考虑到DBW，我想知道如果我们考虑一个字母（比如说二进制）是否仍然很困难。你怎么看？关于等效状态，我们不能以某种方式限制我们需要的等效状态的数量吗？例如，我相信一个人只能用一个向外的箭头（标记为“ true”）限制状态的数量。

c o n s t a n t

$constant$

— Bader Abu Radi

这个问题在80年代产生了很多文献，部分原因是对该问题的处理方法不好。这是一个很长的故事，我将尝试在此答案中进行总结。

1.有限词的情况

人们可以在文献中找到最小DFA的两种定义。第一个是将常规语言的最小DFA定义为具有接受该语言的最少状态的完整DFA。第二个定义的时间更长，但在数学上比第一个更具吸引力，并且具有更强的性能。

让我们回想一下，如果对于所有存在单词使得则可以访问 DFA。如果为所有和都定义了则这是完整。 $(Q, A, \cdot, i, F)$ $q \in Q$ $u \in A^*$ $i \cdot u = q$ $q \cdot a$ $q \in Q$ $a \in A$

令和是两个完整的可访问DFA。从A态射至是一个函数，使得 ${\cal A}_1 = (Q_1, A, \cdot, i_1, F_1)$ ${\cal A}_2 = (Q_2, A, \cdot, i_2, F_2)$ $\mathcal{A}_1$ $\mathcal{A}_2$ $\varphi:Q_1 \to Q_2$

， $\varphi(i_1) = i_2$
， $\varphi^{-1}(F_2) = F_1$
对于所有和，。 $q \in Q_1$ $a \in A$ $\varphi(q)\cdot a=\varphi(q\cdot a)$

$\varphi$ $|Q_2| \leqslant |Q_1|$ ${\cal A}_1$ ${\cal A}_2$ ${\cal A}_1$ ${\cal A}_2$ $L$ ${\cal A}_L$ $L$ $\cal A$ $L$ $\cal A$ ${\cal A}_L$ 。该自动机被称为最小DFA的。再次注意，由于中的状态数小于的状态数，因此在第一方面也是最小的。 $L$ ${\cal A}_L$ $\cal A$ ${\cal A}_L$

值得一提的是，对于不完整的 DFA，也有合适的代数定义。参见[Eilenberg，自动机，语言和机器，第 A，学术出版社，1974]。

2.回到无限的单词

如Shaull在回答中所示，扩展第一个定义不起作用。不幸的是，除了少数特殊情况外，还可以表明第二个定义的通用属性没有扩展到无限个单词。

故事结束了吗？请稍等，还有另一个最小的对象接受常规语言...

3.句法学

让我们首先回到有限的词。回想一下，一个语言的是 由半群识别，如果有一个满射幺态射和一个子集的，使得。再次，存在一个半群，称为语法么半群的，其识别和是识别所有类群的商。可以通过的句法全等将这个句法半形词直接定义为的商 $L$ $A^*$ $M$ $f:A^* \to M$ $P$ $M$ $f^{-1}(P) = L$ $M(L)$ $L$ $L$ $L$ $A^*$ $\sim_L$ $L$ ，定义如下：好消息是这次，这种方法已经扩展到了无限的单词，但是花了很长时间才发现合适的概念。首先，句法全等的合适的概念由A.阿诺德（对于合理的句法同余发现 -languages，Theoret。COMPUT。科学。39，2-3（1985），333-335）。将句法半形体扩展到无穷词的设置需要一种更复杂的代数类型，为了纪念T. Wilke，他被称为Wilke代数，T。Wilke是第一个定义它们的人（T. Wilke，一种用于有限和无穷规则语言的代数理论。话，

ü 〜_{大号} v 当且仅当 X ， ÿ \in {一个}^{*} ， X ü ÿ \in 大号 ⟺ X v ÿ \in 大号

$\text{$u \sim_L v$ if and only if, for all $x, y \in A^*$, $xuy \in L \iff xvy \in L$}$

ω

$\omega$ 诠释 J.阿尔格计算 3（1993），447-489）。更多细节可以在我与D. Perrin合着的《无限词》中找到。

4。结论

因此，从数学上讲，最小对象接受给定的常规语言，但它并不依赖于自动机。这实际上是一个相当普遍的事实：自动机是一种非常强大的算法工具，但它们并不总是足以处理关于语言的数学问题。 $\omega$

— J.-E. 销
source