是否有任何已知的CCC在概率功率域操作下关闭？

等效地，是否存在已知的概率高阶函数编程语言的指称语义？具体而言，是否存在通过对称随机二元选择运算扩展的纯无类型演算的域模型。$\lambda$

动机

笛卡尔封闭类别为高阶计算提供了语义。概率功率域为随机程序提供语义。在概率功率域操作下关闭的CCC将为随机的高阶函数编程语言提供语义。$\lambda$

相关工作

Tix，Keimel和Plotkin（2004）[1]给出了下，上和凸幂域运算的现代结构，但请注意

是否存在在概率幂域的构造下闭合的连续域的笛卡尔闭合类别仍然是一个未解决的问题。

Mislove（2013）[2,3]以一阶语言给出了连续随机变量的语义，但指出

即使概率幂域使有向完整姿态集（简称dcpos）和Scott连续映射的CCC不变，也没有笛卡尔封闭域域-满足通常逼近假设的dcpos-在以下情况下已知不变这个构造。众所周知，在概率选择单子[4]下，相干域的类别是不变的，但该类别不是笛卡尔封闭的。

参考文献

1. 里贾纳·泰克斯（Regina Tix），克劳斯·凯米尔（Klaus Keimel）和戈登·普洛特金（Gordon Plotkin）（2004年） “将概率和非确定性相结合的语义领域”。
2. Michael Mislove（2013） “连续随机变量I的域的剖析”
3. Michael Mislove（2013） “连续随机变量II域的剖析”
4. Jung，A。和R. Tix（1998） “麻烦的概率幂域”

以下是扩展注释，它不会以您提出的条件回答您的问题，但确实给出了您可能会感兴趣的高阶概率计算的语义。

在过去的几年中，围绕线性逻辑的所谓定量指称语义的研究非常活跃，其基础是（最初是由于吉拉德[1]提出的），即高阶程序可以通过幂级数来建模。在概率情况下，采取所谓的概率相干空间（PCS）的形式，也由吉拉德[2]提出，并由Danos和Ehrhard [3]进行了深入研究。类型和未类型的概率计算的PCS收益模型与幂域和其他与monad相关的模型具有非常不同的性质。特别是，PCS提供了迄今为止唯一的概率PCF [4]的完全抽象模型，这是众所周知的困难，而且似乎无法通过功率域实现（参见Jean Goubault-Larrecq）。

除了Ehrhard之外，Michele Pagani及其合著者现在还积极开发定量语义，我建议您查看他的网页以获取其他参考。

$\lambda$

[2] Jean-Yves Girard，在逻辑和量子之间：一个道。在线性逻辑在计算机科学，CUP，2004年。

[3] Vincent Danos和Thomas Ehrhard，概率相干空间作为高阶概率计算的模型。信息与计算209（6）：966-991，2011。

[4] Thomas Ehrhard，Michele Pagani和Christine Tasson，概率相干空间对于概率PCF是完全抽象的。2014年在POPL会议录中，第309-320页。

下面的注释是正确的，但了解域的“有限”或“紧凑”元素的含义很重要。这些是可在有限时间内计算的对象的表示形式，因此它们在语义模型中的出现并不是为了证明理论上的方便-它们表示模型与实际计算之间的紧密联系。

好吧，Mislove的报价已经包含了一个肯定的答案：dcpos的类别是Carteisan封闭的，并且在概率幂域下也是封闭的。实际上，它可以用来为高阶概率计算提供指称语义。但是，dcpos无法满足“通常的近似假设”，即在某种意义上每个元素都可以由“有限”元素近似，就像代数和连续cpos的情况一样。这些假设有助于某些指称性论据，但本身不需要提供语义。