特殊情况下的DFA交集算法

我对特殊情况下DFA交集的高效算法感兴趣。即，当相交的DFA遵循某种结构和/或以有限的字母进行操作时。有什么资料可以找到这种情况的算法吗？

为了不使问题过于笼统，以下结构特别受关注：所有要相交的DFA都以二进制字母（0 | 1）进行操作，它们也可以使用无关符号。此外，除最多K个特殊状态（仅有两个过渡）外，所有状态都只有一个过渡（并且这些过渡始终为0或1，但不在乎）。K是整数，出于实用目的，小于10。而且，它们具有单个接受状态。此外，已知交集始终是“条”形式的DFA，即无分支，如下图所示：

编辑：也许对输入DFA的约束的描述不是很清楚。我将在本段中尝试对其进行改进。您有输入T DFA。这些DFA均仅对二进制字母进行操作。每个国家最多拥有N个州。对于每个DFA，其每个状态均为以下之一：

1）接受状态（只有一种状态，从它到任何其他状态都没有过渡）

2）具有两个转换（0和1）到同一目标状态的状态（大多数状态是这种状态）

3）具有两个转换（0和1）到不同目标状态（最多这种K）的状态

可以确保每个输入DFA中只有一个接受状态，并且最多只有K个类型（3）的状态。还保证所有输入DFA的交点DFA是“条”（如上所述），大小小于N。

EDIT2： DW在评论中要求的一些附加约束：

• 输入的DFA是DAG。
• 输入的DFA按照注释中的DW定义进行“级别调整”。也就是说，您可以为每个状态分配不同的整数，以使每次转换都从整数u到整数v，从而u + 1 = v。
• 接受状态的每个输入DFA的数量，不超过ķ。

有任何想法吗？谢谢。

是的，P内有一些DFA非空插入的问题。我的硕士论文专门针对这个问题，但不幸的是它是法文。但是，大多数结果都出现在这里的$[2]$。

如果字母为一元，则每个DFA最多具有两个最终状态时问题是L-完成的，否则问题是NP-complete。其他大多数情况是对自动机的过渡半定式的限制。例如，对于阿贝尔群过渡单等式，问题出在$\text{NC}^3$每个DFA最多具有一个最终状态，否则NP完成；对于基本的2组过渡Monoid，问题是$\oplus$当每个DFA最多具有两个最终状态时，L-完成；否则，NP-完成。

现在让我解决您更精确的问题，该问题只能在 $[1]$。假设为您提供了DFA工作$\{0,1\}$ 形如树木，即存在状态 $u$ （初始状态），以便每个状态 $v$ 从那里存在一条独特的道路 $u$ 至 $v$。然后，确定交叉点非空为：

1. 每个DFA中一个最终状态的L-完成，
2. 每个DFA中两个最终状态的NL完整，以及
3. 每个DFA中三个或更多最终状态的NP完全性。

即使您分别“叉” 0、1或2次（这是您的 $K$）。现在，如果您的DFA是有向无环图而不是有向图，那么问题是NP完全的，即使每个DFA中都有一个最终状态，$K=2$; 减少是非常简单的，是从Monotone 1-in-3 3-SAT中得出的。

因此，不，我认为没有有效的算法可以解决您的问题。

现在，如果自动机的数量是固定的，那么您可能要与最近出版的Michael Wehar进行讨论$[3]$。

编辑：由于OP编辑了他的问题，所以让我用他的新要求来澄清我的答案。考虑NP完全问题单调1-在-3 3-SAT，你给出一个公式中3-CNF没有否定，并在那里你必须确定是否存在转让，使恰好每个子句中一个变量如此。您可以按如下方法将此问题简化为非空交叉问题。例如，对于子句$x_2 \lor x_3 \lor x_5$，您将构建以下自动机：

$\hskip2in$

请注意，自动机是树（因此是DAG），已级别化，并且具有三个最终状态。实际上，如果对DAG满意，则可以将三个最终状态合并为一个状态。此外，只有两个州有两个（不同的）外向过渡。

1. 迈克尔·布朗丁。自动化交叉路口的复杂建筑 论文，蒙特利尔大学，2012年。
2. 迈克尔·布朗丁（Michael Blondin），安德烈亚斯·克雷布斯（Andreas Krebs）和皮埃尔·麦肯齐（Pierre McKenzie）具有很少最终状态的有限自动机相交的复杂性，计算复杂性（CC），2014年。
3. 迈克尔·韦哈（Michael Wehar）。交叉点非空度的硬度结果。ICALP，2014年。