是否找到不使用蛮力搜索即可将两个单词分开的最小DFA？

给定两个字符串x和y，我想构建一个最小大小的DFA，它接受x并拒绝y。一种方法是蛮力搜索。您列举了DFA的最小编号。您尝试每个DFA，直到找到一个接受x并拒绝y的DFA。

我想知道是否还有其他已知的方法来查找或构建接受x并拒绝y的最小尺寸DFA。换句话说，我们可以击败蛮力搜索吗？

更多详情：

（1）我确实希望算法找到最小大小的DFA，而不是最小大小的DFA。

（2）我不只是想知道最小DFA的大小。

（3）在这里，我仅关注您有两个字符串x和y的情况。

编辑：

有兴趣的读者的其他信息：

假设和y是长度最大为n的二进制字符串。它是一种已知的结果，有一个DFA接受X和拒绝ÿ至多$x$$y$$n$$x$$y$个州。请注意，有大约ñ$\sqrt{n}$具有二进制字母且最多√的DFA$n^{\sqrt{n}}$个州。因此，强制方法不会要求我们更加枚举通过比ñ$\sqrt{n}$ DFA。由此可见，蛮力方法可能不会花费太多超过ñ$n^{\sqrt{n}}$次。$n^{\sqrt{n}}$

我认为有帮助的幻灯片：https : //cs.uwaterloo.ca/~shallit/Talks/sep2.pdf

如果在实践中必须这样做，则可以使用SAT解算器。

是否存在与DFA问题接受状态X和拒绝ÿ可以容易地表示为SAT实例。例如，一种方法是有2个ķ 2布尔变量：Ž 小号，b ，吨是如果DFA转换从状态真小号到状态吨上输入位b。然后添加一些子句以强制将其视为DFA，并添加一些变量和子句以强制其接受x并拒绝y。$k$$x$$y$$2k^2$$z_{s,b,t}$$s$$t$$b$$x$$y$

现在，对使用二进制搜索以找到最小的k，以使此类DFA存在。根据我在有关相关问题的论文中所读的内容，我希望这在实践中可能是相当有效的。$k$$k$

作为SAT的其他编码也是可能的。例如，我们可以使用跟踪编码：

• 如果是的长度米，可以添加米LG ķ布尔变量：设小号0，s ^ 1，... ，小号中号被遍历上输入状态的序列X，和表示每个š 我使用⌈ LG ķ ⌉布尔变量。$x$$m$$m\lg k$$s_0,s_1,\dots,s_m$$x$$s_i$$\lceil \lg k \rceil$

• 现在，对于每个使得x i = x j，约束为s i − 1 = s j − $i,j$$x_i=x_j$。$s_{i-1}=s_{j-1} \implies s_i=s_j$

• 接下来，将其扩展为处理：令t 0，… ，t n为在输入y上遍历的状态序列，并使用lg k布尔变量表示每个t j。对于每个i ，j使得y i = y j，添加约束t i − 1 = t j − $y$$t_0,\dots,t_n$$y$$t_j$$\lg k$$i,j$$y_i=y_j$。$t_{i-1}=t_{j-1} \implies t_i=t_j$

• 同样，对于每个使得x i = y j，添加约束s i − 1 = t j − $i,j$$x_i=y_j$。$s_{i-1}=t_{j-1} \implies s_i=t_j$

• 两条迹线必须从相同的起点开始，因此添加要求（WLOG您可以要求s 0 = t 0 = 0）。$s_0=t_0$$s_0=t_0=0$

• 为了确保DFA仅使用状态，要求0 ≤ 小号我 < ķ和0 ≤ 吨Ĵ < ķ所有我，Ĵ。$k$$0 \le s_i < k$$0 \le t_j <k$$i,j$

• 最后，为了对被接受而y被拒绝的要求进行编码，要求s m ≠ t n。$x$$y$$s_m \ne t_n$

所有这些要求都可以编码为SAT子句。

与以前一样，您将对使用二进制搜索来找到存在DFA 的最小k。$k$$k$