移位链是两种颜色吗？

为表示由的的最小元素。$A\subset [n]$$a_i$$i^{th}$$A$

对于两个元素集，我们说如果每个为，则。$k$$A,B\subset [n]$$A\le B$$a_i\le b_i$$i$

甲 -uniform超图被称为移位链如果出于任何超边，，我们有或。（因此，移位链最多具有超边。）$k$${\mathcal H}\subset [n]$$A, B \in {\mathcal H}$$A\le B$$B\le A$$k(n-k)+1$

我们说一个超图 是两色的（或者说它具有属性B），如果我们可以用两种颜色为其顶点着色，从而没有超边是单色的。${\mathcal H}$

如果足够大，移位链是二色的，这是真的吗？$k$

备注。我首先在mathoverflow上发布了此问题，但没有人对此发表评论。

在第一届Emlektabla研讨会上对该问题进行了调查，得出了一些部分结果，请参阅手册。

这个问题是由平面的多个覆盖物通过凸形的平移分解而引起的，在该区域中存在许多未解决的问题。（有关更多信息，请参阅我的博士学位论文。）

对于有一个简单的反例：（12），（13），（23）。$k=2$

Radoslav Fulek使用计算机程序为给出了一个非常神奇的反例：$k=3$

（123），（124），（125），（135），（145），（245），（345），（346），（347），（357），

（367），（467），（567），（568），（569），（579），（589），（689），（789）。

如果我们让超图成为两个移位链（具有相同顺序）的并集，那么任何都有一个反例。$k$

更新。我最近设法证明，在此预印本中，移位链的更受限版本是两种颜色。

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这不是答案。接下来的简单证明是，k = 3 的构造确实是反例。我认为询问者知道这个证明，但是无论如何我都会发布它，因为证明很好，当人们考虑更大的k的情况时，这可能很有用。

容易确认这是一条转移链。让我们证明它没有属性B。

实际上，子超图{（123），（145），（245），（345），（346），（347），（357），（367），（467），（567），（568）， （569），（789）}已经不满足属性B。要看到这一点，假设此超图具有2色着色，令c _i为顶点i的颜色。看一下三个超边（145），（245），（345）。如果c ₄ = c ₅，则所有1、2和3必须是与c ₄相反的颜色，但这将产生单色的超边缘（123）。因此，必须是c ₄ ≠ c _5的情况。同样，

• 通过比较三个超边缘（345），（346），（347）并注意一个超边缘（567），c ₃ ≠ c ₄。
• 通过比较三个超边缘（367），（467），（567）并注意一个超边缘（345），c ₆ ≠ c ₇。
• 通过比较三个超边缘（567），（568），（569）并注意一个超边缘（789），c ₅ ≠ c ₆。

因此，我们有c ₃ ≠ c ₄ ≠ c ₅ ≠ c ₆ ≠ c ₇。但这意味着c ₃ = c ₅ = c ₇，从而使超边缘（357）是单色的。这与2色的假设相矛盾。

也许我缺少了一些东西，但是我认为概率方法有一个很好的下界：

如果为每个顶点独立地以每种颜色的概率着色，则您的单色边缘的概率为。使用Lovasz局部引理，如果 ，则移位链具有属性 我不能直接解决这个不等式，但是如果您有那么您会在左侧得到像这样的东西，而在右侧（因此对于足够大，不等式成立。2 ⋅ （$1/2$乙ķ（ñ-ķ）+1≤2 ķ - $2 \cdot (\dfrac{1}{2})^k = 2^{-k+1}$$B$k=Ω（log（n））nlog（n）nc

有一个更好的结合的上边缘的数目为一个 -uniform超图，使得图具有属性。ķ$O(\sqrt{k/\ln(k)} \cdot 2^k)$$k$$B$