具有有限“障碍”的向量加法系统

向量加法系统（VAS）是动作 的有限集合。是标记集。是标记 st一个非空单词。如果存在这样的词，我们就说从是可到达的。$A \subset \mathbb{Z}^d$$\mathbb{N}^d$$m_0 m_1\dots m_n$$\forall i \in \{0, \dots, n-1\}, m_{i+1}-m_i \in A$$m_n$$m_0$

众所周知，VAS的可达性问题是可以决定的（但其复杂性是一个开放的问题）。

现在让我们假设给出了一组有限的禁止标记（障碍物）。我想知道可达性问题是否仍然可以解决。

从直觉上讲，有限的障碍集应该仅在局部干扰路径，因此问题应该可以确定。但是证明这一点似乎并不容易。

编辑。我将保留@Jérôme的答案作为被接受的答案，但我想添加一个后续问题：如果标记集为怎么办？$\mathbb{Z}^d$

这个想法是基于我今天下午与GrégoireSutre进行的讨论。

该问题可判定如下。

Petri网是中成对的有限集合，称为过渡。给定的过渡，我们用上所述配置的集合中定义的二元关系由如果存在向量，使得和。我们用表示一步可达性关系。该关系的自反和及物传递闭合表示为Ť Ñ d × Ñ d吨= （→ û，→ v）吨 → Ñ d → X 吨 → → ý → Ž ∈ Ñ d → X = → Ü + → Ž → Ŷ = → v + → Ž Ť → ⋃ 吨∈ Ť 吨 → Ť *$T$$\mathbb{N}^d\times\mathbb{N}^d$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\xrightarrow{t}$$\mathbb{N}^d$$\vec{x}\xrightarrow{t}\vec{y}$$\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{y}=\vec{v}+\vec{z}$$\xrightarrow{T}$$\bigcup_{t\in T}\xrightarrow{t}$$\xrightarrow{T^*}$。

让超过经典的分量型偏序和限定如果存在这样即。一组的向上闭合的是集合向量。集合的向下闭合是向量的集合。≤ Ñ d → ü ≤ → X → ž$\leq$$\mathbb{N}^d$$\vec{u}\leq \vec{x}$ Ñ d → X = → Ü + → Ž → X Ñ d 好↑ $\vec{z}\in\mathbb{N}^d$$\vec{x}=\vec{u}+\vec{z}$$\vec{X}$$\mathbb{N}^d$ X { → v ∈Ñd|∃ → X ∈ → X${\uparrow}\vec{X}$→ X ≤ → v } → X ↓$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{X}.\,\vec{x}\leq\vec{v}\}$$\vec{X}$ X { → v ∈Ñd|∃ → X ∈ → X${\downarrow}\vec{X}$$\{\vec{v}\in\mathbb{N}^d \mid \exists \vec{x}\in\vec{x}.\,\vec{v}\leq\vec{x}\}$

注意，如果对于某些有限集，如果，并且是Petri网，我们可以计算出一个新的Petri网这样对于每种配置，我们都有和且仅当。实际上，如果是一个过渡，则对于每个，让，其中是→ û =好↑ → 乙→ 乙 ÑdŤŤ → 乙 → X， → ÿ → X Ť → → ÿ → X， → ý＆Element; → ü → X Ť → 乙 → → Ŷ吨=（ → û， → v） → b＆Element; → 乙吨 → b$\vec{U}={\uparrow}\vec{B}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$$T$$T_{\vec{B}}$$\vec{x},\vec{y}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{y}$$\vec{x},\vec{y}\in\vec{U}$$\vec{x}\xrightarrow{T_{\vec{B}}}\vec{y}$$t=(\vec{u},\vec{v})$$\vec{b}\in\vec{B}$（→u +→ ž， → v + → Ž）吨 → → Ž Ñ → v（我），0}1≤我≤dŤ → Ù ={ b |吨$t_{\vec{b}}=(\vec{u}+\vec{z},\vec{v}+\vec{z})$$\vec{z}$d → z（i ）= max { → b（i ）− → u（i ），→ b（i ）$\mathbb{N}^d$由每。请注意，满足要求。$\vec{z}(i)=\max\{\vec{b}(i)-\vec{u}(i),\vec{b}(i)-\vec{v}(i),0\}$$1\leq i\leq d$$T_{\vec{U}}=\{t_{\vec{b}} \mid t\in T\,\vec{b}\in\vec{B}\}$

现在，假设为Petri网，为障碍集。我们介绍了有限集。观察到我们可以有效地计算的有限集合，使得。让超过定义的二元关系 由如果，或存在这样Ť → ø → d = ↓ → ø → 乙 Ñ d 好↑ → 乙 = Ñ d ∖ → d - [R Ñ d ∖ → ø → X - [R → Ŷ → X = → ý → X '，→ ÿ ' ∈ ñ d ∖ → ø → X Ť → → X ' Ť * $T$$\vec{O}$$\vec{D}={\downarrow}\vec{O}$$\vec{B}$$\mathbb{N}^d$${\uparrow}\vec{B}=\mathbb{N}^d\backslash\vec{D}$$R$$\mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x} R \vec{y}$$\vec{x}=\vec{y}$$\vec{x}',\vec{y}'\in \mathbb{N}^d\backslash \vec{O}$$\vec{x}\xrightarrow{T}\vec{x}'\xrightarrow{T_{\vec{B}}^*}\vec{y}'\xrightarrow{T}\vec{y}$。

现在，只要观察一下，如果存在从初始配置到最后一个避开障碍物的奔跑，那么在并且最多通过中的配置进行传递。因此，问题简化为选择非确定性地不同的配置在，修复如初始配置，作为最终配置，并检查→ X → ý → ö → ö → d ∖ → ö → Ç 1，...， → Ç Ñ → d ∖ → ö → Ç 0 → X ÇÑ+1 → ý → Ç Ĵ- [R → Ç Ĵ+1$\vec{x}$$\vec{y}$$\vec{O}$$\vec{O}$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_1,\ldots,\vec{c}_n$$\vec{D}\backslash \vec{O}$$\vec{c}_0$$\vec{x}$$c_{n+1}$$\vec{y}$$\vec{c}_j R \vec{c}_{j+1}$对于每个。最后一个问题简化为Petri网的经典可达性问题。$j$

我一直在考虑您的问题，即带有状态（VASS）的矢量加法系统（VASS）等效于VAS，并提出了此解决方案。现在，我已经阅读了杰罗姆的好答案，我不得不说我的答案非常相似，因此即使您认为我的答案正确，也请接受他的答案。

想法：可以将VASS转换为VASS，以禁止矢量小于或等于障碍物。这并不是我们想要的，因为允许到达较小但不等于障碍的向量。但是，这样的向量有限。这允许将极小行程分解为有限多个行程，这些行程既可以是的过渡，也可以是的等效行程。因此，是的，问题是可以确定的。V V ' V V $V$$V'$$V$$V'$

细节：令是 -VASS，即是一个有限标号图使得。令为障碍集。令和，只要为a ，我们就写出从到在每个中间配置运行。我们表示V = （Q ，Ť ）d V Ť ⊆ Q × ž d × $V=(Q,T)$$d$$V$$T \subseteq Q \times \mathbb{Z}^d \times Q$ ø ⊆ Ñ d π ＆Element; Ť * X ⊆ Ñ d p （Û ）π →交通 X q （v $O \subseteq \mathbb{N}^d$$\pi ­\in T^*$$X \subseteq \mathbb{N}^d$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_X q(\boldsymbol{v})$ π p （Û ）q （v ）Q × X ↓ X = { ÿ ：ÿ $\pi$$p(\boldsymbol{u})$$q(\boldsymbol{v})$$Q \times X$${\downarrow}X = \{\boldsymbol{y} : \boldsymbol{y} \leq \boldsymbol{x} \text{ for some } \boldsymbol{x} \in X\}$。

令为最小运行，例如，即最小运行避免障碍。然后，根据信鸽原理，可以将分解为仅有限次进入的运行。更正式地，存在，和 使得π p （Û ）π →交通 Ñ d ∖ ø q （v ）π ↓ ö ∖ ö 吨1，吨' 1 ... ，吨Ñ + 1，吨' Ñ + 1 ∈ Ť ∪ { ε } π 1，... ，π ñ + 1 ∈ Ť * { p 我（$\pi$$p(\boldsymbol{u}) \xrightarrow{\pi}_{\mathbb{N}^d \setminus O} q(\boldsymbol{v})$$\pi$${\downarrow}O \setminus O$$t_1, t_1' \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}' \in T \cup \{\varepsilon\}$$\pi_1, \ldots, \pi_{n+1} \in T^*$$\{p_i(\boldsymbol{u}_i), q_i(\boldsymbol{v}_i), r_i(\boldsymbol{w}_i)\}_{i \in [0,n+1]} \subseteq Q \times \mathbb{N}^d$

• $\pi = t_1 \pi_1 t_1' \cdots t_{n+1} \pi_{n+1} t_{n+1}'$，
• $\forall i \in [0,n]\ \; p_i(\boldsymbol{u}_i) \xrightarrow{t_{i+1}}_{\mathbb{N}^d} q_{i+1}(\boldsymbol{v}_{i+1}) \xrightarrow{\pi_{i+1}}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} r_{i+1}(\boldsymbol{w}_{i+1}) \xrightarrow{t_{i+1}'}_{\mathbb{N}^d} p_{i+1}(\boldsymbol{u}_{i+1})$
• $p_0(\boldsymbol{u}_0) = p(\boldsymbol{u}),\ p_{n+1}(\boldsymbol{u}_{n+1}) = q(\boldsymbol{v})$，
• $\forall i \in [1,n]\ \; \boldsymbol{u}_i \in {\downarrow}O \setminus O$。
• $n \leq |Q| \cdot |{\downarrow}O|$。

因此，只需猜测，和中间配置即可。测试是否可以通过将转换为新的来进行测试 -VASS，其中每个过渡被过渡的小工具替代。例如，如果则转换将如下替换：Ñ 吨1，吨' 1，... ，吨Ñ + 1，吨' Ñ + 1个 p （X ）* → Ñ d ∖ ↓ ø q （Ý ）V d V '吨∈ Ť 4 | O | + 1 Ö = { （1 ，5 ），（2 ，$n$$t_1, t_1', \ldots, t_{n+1}, t_{n+1}'$$p(\boldsymbol{x}) \xrightarrow{*}_{\mathbb{N}^d \setminus {\downarrow}O} q(\boldsymbol{y})$$V$$d$$V'$$t \in T$$4|O|+1$$O = \{(1,5), (2,3)\}$