区域法律哈密顿主义者的复杂性

我最近考虑过将与物理学相关的问题“导入”量子CS：

哈密​​顿系统中面积律现象的概念通常代表某个晶格上的局部哈密顿量，其基态表现出一种特性，其中任何闭合区域的纠缠与该区域的表面成比例，而不是其体积成正比（因为一般状态）。一个著名的猜想是，所有恒定间隔的哈密顿主义者是否都表现出这种面积律性质。对于一维系统，Hastings（arXiv：0705.2024）肯定地回答了这个问题。

但是，此类系统与复杂性理论之间的联系非常模糊：尽管黑斯廷斯（Hastings）的结果表明可以经典地模拟一维区域律法系统，但对于一般系统而言，这是未知的。所以我的问题是，解决区域法猜想是否值得？或反过来说，可以提出一个QMA完整的局部哈密顿量，这也是遵守区域法律的。稍微看一下已知的QMA完全局部哈密顿量，这些基本上都是基于Kitaev的量子Cook-Levin定理得出的，这些哈密顿量不具有面积定律性质。

可以考虑以下遵循2Q系统且完全符合QMA的区域法的愚蠢示例。以2d系统为例，其中一行等于已知的QMA完全一维哈密顿量之一（请参见Aharonov，Gottesman，Irani，Kempe），其他所有行都处于乘积状态。然后，这遵循面积定律（考虑绘制一个矩形，该矩形包括给定的行，k行和l列；纠缠以常数l限制，并且面积也至少等于l）。

但是，我认为，这当然并不意味着从复杂性的角度来看，在2d中证明区域定律毫无意义。相反，我认为这意味着我们不仅需要考虑纠缠熵的面积定律，还需要考虑其他纠缠特性。一种这样的性质是具有多项式键维的PEPS。实际上，证明2d中存在面积定律并不意味着具有多项式键维的PEPS。1d的含义依赖于这样一个事实，我们可以将系统分割成各种键，将各个键截断成多项式Schmidt秩，然后对误差进行约束。此过程不适用于2d。因此，在2d中证明间隙系统的PEPS的存在将是下一步。我的感觉是，在2d中证明区域法将是这样做的良好第一步。

实际上，在凝聚态物理学中已经充分研究了存在遵循面积定律的无间隙二维哈密顿量。在1d中，用共形场论描述的系统具有纠缠熵的对数行为，在2d中，许多关键系统表现出面积定律，然后对数出现在次导行为中，因此熵等于L + const * log（L）+ ...也就是说，在这种二维理论中，熵中有趣的通用术语不是主导术语，而是次主导。

感谢您提供详尽而有见地的答案，并进一步完善了面积定律和多项式结合维之间的区别。