为什么不可能为教堂数字声明归纳原理

想象一下，我们在依存类型的lambda演算中将自然数定义为教堂数字。可以通过以下方式定义它们：

SimpleNat = (R : Set) → R → (R → R) → R

zero : SimpleNat
zero = λ R z _ → z

suc : SimpleNat → SimpleNat
suc sn = λ R z s → s (sn R z s)

SimpleNatRec : (R : Set) → R → (R → R) → SimpleNat → R
SimpleNatRec R z s sn = sn R z s

但是，似乎我们无法使用以下归纳原理类型来定义教堂数字：

NatInd : (C : Nat -> Set) -> (C zero) -> ((n : Nat) -> C n -> C (suc n)) -> (n : Nat) -> (C n)

为什么会这样呢？我如何证明这一点？似乎问题在于为Nat定义了一个类型，该类型变得递归。是否可以修改lambda演算以允许这样做？

type-theory lambda-calculus dependent-type

— 康斯坦丁·索洛玛托夫
source

您所提出的问题很有趣且众所周知。您正在使用自然数的所谓命令式编码。让我解释一下背景。

给定一个类型构造，我们可能有兴趣在“最小”类型的满足。就范畴论而言，是一个函子，是初始的代数。例如，如果则对应于自然数。如果 $T : \mathsf{Type} \to \mathsf{Type}$ $A$ $A \cong T(A)$ $T$ $A$ $T$ $T(X) = 1 + X$ $A$ 则是有限二叉树的类型。 $T(X) = 1 + X \times X$ $A$

历史悠久的想法是，初始代数的类型为（您对相关产品使用的是Agda表示法，但是我使用的是更传统的数学表示法。）为什么会这样呢？好吧，本质上是对初始代数的递归原理进行编码的：给定具有结构同构任何代数 $T$

一种 ： = \prod_{X ： Ť ÿ p Ë} （ Ť （ X ） \to X ） \to X 。

$A \mathrel{{:}{=}} \prod_{X : \mathsf{Type}} (T(X) \to X) \to X.$

A

$A$

T

$T$

T

$T$

Y

$Y$

，我们得到一个代数同态

由

f : T (Y) \to Y

$f : T(Y) \to Y$

ϕ : A \to Y

$\phi : A \to Y$

因此，我们可以肯定地看到

是弱初始的。首先，我们必须知道

是唯一的。没有进一步的假设，情况并非如此，但是细节是技术性和令人讨厌的，需要阅读一些背景材料。例如，如果我们可以证明一个令人满意的参数定理，那么我们就赢了，但是还有其他方法（例如，对

的定义进行推论，并假设

公理和函数可扩展性）。

ϕ （ 一种 ） = 一种 ÿ F 。

$\phi(a) = a \, Y \, f.$

A

$A$

ϕ

$\phi$

A

$A$

K

$K$

$T(X) = 1 + X$

ñ 一种 Ť = \prod_{X ： Ť ÿ p Ë} （ （ 1个 + X ） \to X ） \to X = \prod_{X ： Ť ÿ p Ë} （ X \times （ X \to X ） ） \to X = \prod_{X ： Ť ÿ p Ë} X \to （ X \to X ） \to X 。

$\mathsf{Nat} = \prod_{X : \mathsf{Type}} ((1 + X) \to X) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} (X \times (X \to X)) \to X = \prod_{X : \mathsf{Type}} X \to (X \to X) \to X.$

对您的问题的技术解答是：存在类型理论模型，其中类型SimpleNat包含与数字不对应的奇特元素，而且这些元素破坏了归纳原理。SimpleNat这些模型中的类型太大，只是一个弱的初始代数。

— 安德烈·鲍尔（Andrej Bauer）
source

我同意答案很好，但是这里有一些参考可能有用：Geuvers关于归纳的不可导性的论文以及Neel K's和Derek Dreyer关于从参量获得（一些）归纳的论文。但是我不知道有一篇文章可以全面探讨这种关系。

— 科迪

我在这方面的参考文献不太强，谢谢@cody！

— 安德烈·鲍尔