dag上的简单路径，后边缘

以下问题（ P？NP-hard？）的复杂性是什么： $\in$

输入：有向无环图，一组后沿，以及两个不同的节点和。 $D=(V,E)$ $E'\subset V\times V$ $s$ $t$

问题：让表示通过将的边添加到形成的图。是否有从一个简单的路径到在使用至少一个向后边缘？ $G=(V,E\cup E')$ $D$ $E'$ $s$ $t$ $G$

注意：0）简单路径是不重复顶点的路径，后边缘是与DAG隐含的偏序相反的边缘。1）如果我们要求简单路径通过平凡减少不相交路径问题来要求简单路径仅使用一个后向边缘（或常数），则该问题就很容易了，这可以接受DAG中的简单PTime解决方案（Perl和Shiloach，JACM'78） 2）不相交路径问题在一般图中是NP完全的（Fortune等人，TCS'80）。

graph-algorithms time-complexity disjoint-paths

— 约瑟夫·斯塔克
source

这当然不是最佳选择，但是足以表明您的问题出在P中（除非我误解了）：令为的边；将最短路径算法从到应用于图对于。换句话说，将从拾取的边添加到图直到找到从到的路径。

e_{1}, . . ., e_{m}

$e_1,...,e_m$

E

$E$

s

$s$

t

$t$

G_{i} = (V, E^{'} \cup ⋃_{j = 1}^{i} {e_{j}})

$G_i = (V, E' \cup \bigcup_{j=1}^i \{ e_j \} )$

i = 1, 2, . . ., m

$i = 1,2,...,m$

E

$E$

G^{'} = (V, E^{'})

$G' = (V, E')$

s

$s$

t

$t$

— Marzio De Biasi 2015年

马齐奥：但是，如果您找到的路径仅在使用边，而在不使用边怎么办？可能仍然存在一条不同的路径，其中也包括的边缘。

E

$E$

E^{'}

$E'$

E^{'}

$E'$

— David Eppstein 2015年

您的问题非常令人讨厌的是，以下相关问题很容易被视为NP难题：给定一个图和两个顶点对（s，t），（s'，t'），以确定是否存在不相交的顶点即使当t = s'时，甚至在作为两个DAG的并集的图形上，从s到t以及从s'到t'的路径。不过，这似乎对您提出的问题没有帮助。

— a3nm

即使在DAG上，不相交的路径问题也是W [1]困难的，这是证明它是DAG的NP-Hard的功课。Shiloach算法用于两个不相交的路径问题，并且以某种相似的方式用于DAG中的k个不相交的路径问题，但是需要时间n ^ k。但至少可以接受XP算法来解决您的问题。

— 赛义德2015年