大学生的违反直觉的结果

我正在寻找一些结果示例，这些结果违背了一般观众的直觉。如果从非专家那里得到的结果是“您的直觉告诉您什么？”，那么几乎所有的结果都会出错。结果的陈述应该很容易以CS /数学形式向大学生解释。我主要是在寻找计算机科学方面的成果。

您所在的地区（普遍感兴趣）最违反直觉/意外的结果是什么？

对于一般观众，您必须坚持他们可以看到的内容。一旦您开始理论化，他们就会启动他们的手机。

这里有一些想法可以解决，以完成示例：

1. 有一个表面只有一侧。
2. 一条曲线可能会填满整个正方形。
3. 除圆以外，还有恒定宽度的曲线。
4. 可以用三种颜色为平面着色，以使每个边界点都是三边界的。

如果您可以依靠一些数学知识，则可以做更多的事情：

1. 奇数与自然数一样多。
2. 有一个连续的，无处可微的功能。
3. 有一个函数在所有有理数上都是不连续的，而在所有无理数上都是可微的。$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$
4. 在巴拿赫-塔斯基“悖论”。

对于程序员，您可以尝试：

1. 在不可能函：有一个程序，它需要一个断言p : stream → bool，这里stream是无限的二进制序列的数据类型，并返回true当且仅当p α是true对所有数据流α（这是不可数很多），以及false其他。

2. 可以通过电话以防止欺骗的可信方式玩扑克。

3. 一群人可以计算他们的平均薪水，而无需任何人找出其他人的薪水。

4. 有其中的程序构造了一个二进制树$T$具有以下特性：

   • 树是无限的$T$
   • 没有程序可以追踪T中的无限路径$T$

一个想法是从流算法中获得一些简单的东西。最佳候选者可能是多数算法。假设您看到一个数字流，一个接一个，并且您知道一个数字的出现时间超过一半，但是您不知道哪个数字出现。如果一次只能记住两个数字，如何找到多数数？答案是Misra-Gries算法。$s_1, \ldots, s_n$

在每个时间步上，您都存储流中的数字和频率计数器f。首先，将x设置为流的第一个数字，并将频率f初始化为1。然后，每当看到新的数字s i时，便检查x = s i。如果X = s ^ 我，增加˚F到˚F + 1，否则减少˚F到˚F - 1。如果f = 0，则将x设置为s $x$$f$$x$$f$$s_i$$x = s_i$$x=s_i$$f$$f+1$$f$$f-1$$f=0$$x$$s_i$和返回1。在流的最后一个元素之后，如果存在多数元素，则该元素将等于x。$f$$1$$x$

另一个想法是著名的游戏，用以说明零知识证明。我认为这是由于Oded Goldreich造成的，类似于图同构的零知识证明。

为了使答案独立，这里是游戏。假设您想说服色盲朋友，您可以说出绿色。您的朋友有两副牌，他知道一堆是绿色，另一堆是红色。他在没有看到您的情况下进行以下操作：以1/2的概率从每个副牌中抽出一张牌，以1/4的概率从左副牌中抽出两张牌，以1/4的概率从右副牌中抽出两张牌。然后，他向您显示卡片，并询问您是否使用相同的颜色。如果您不是色盲者，那么每次当然都可以正确回答。如果您是色盲者，您将以1/2的概率失败。因此，如果现在玩10次游戏，则色盲时每次获胜的可能性非常低。

更重要的是，如果您的朋友知道两副纸牌是两种不同的颜色，却不知道哪一种是红色和哪种绿色，那么到最后他还是不会知道！因此，总而言之：

1. 证明中有随机性的地方。
2. 您可以说服您知道的人，而无需向他们提供任何信息。

$n$$n$$2,\pi,4\pi/3,\dots$$n=6$$0$$n\to\infty$

PCP定理是复杂性理论的反直观结果：

$NP$$A$$A$

$i$$n$$O(n)$$O(n~lg ~n)$

建立在MdBs答案/角度的基础上，在TCS的基础上发现某些违反直觉的经典结果是，（不可）确定性本身的存在。在20之交^个世纪希尔伯特，镜像的时间等领导数学家的思维，认为数学可以系统化（有些在我们现在承认形式算法）有些通过概念“有限论”（它与算法的思想（作为步骤的有限序列）大致相似。他根据这些思路提出了著名的公开问题。他（和其他人）的直觉以某种引人注目的方式被证明是错误的。反证是Godels定理与Turings 停止问题。两者最初都是非常抽象的概念/结果，而冗长且技术含量高的论文/论据只有当时的顶尖数学家才可以理解，但现在已经提炼为更简单的概念结构并教授给本科生。这些最初并不被视为同一现象的两个方面/面，但现在它们却是。

还用了将近一个世纪的时间来证明整数Diophantine方程是不可确定的，希尔伯特的第十个问题。从某种意义上说，这是违反直觉的，因为人们一直都知道数论是极其困难的，但是当时其中一些特定的/可识别的问题实际上可能是“不可能解决”的概念几乎使某些人感到震惊。即使由于摩尔定律以及数十种在某种意义上仍然“无能为力”的超级计算机而使硬件在指数级增长的情况下，不确定性仍然是数学/ TCS面临的严峻挑战。不确定性令人惊讶的某些方面可以在克莱因着的《数学，确定性的丧失》一书中找到。

似乎很明显，但是从个人经验来看，您可以使用恒定数量的操作来估计项目集合的中位数的想法有点令人震惊。而且，如果这看起来有点技术性，您可以随时将其转换为关于民意测验的声明（无论人口规模如何，您都需要1300人才能获得具有3％误差的样本）。

与此相关的当然是生日悖论。

也许一个很好的例子（与计算复杂度没有直接关系）是简单计算模型的图灵通用性。

例如，规则110有效（弱）通用：

给定一个（无限）0-1个（白黑色）单元格的数组，这些单元格已正确初始化，并且有简单的替换规则：

我们有一台“工作计算机”！:-)

对于“弱”和“高效”的定义，以及简单通用图灵机的其他示例，请参见：Turlough Neary，Damien Woods；小型通用图灵机的复杂性：一项调查。

另一个令人困惑的例子是FRACTRAN “编程语言” 的图灵完整性：

• $(p_1/q_1, p_2/q_2,..., p_n/q_n)$
• $n$$q_i$$n$$n \leftarrow n \cdot \frac{p_i}{q_i}$
• $q_i$$n$

$n$

您还可以使用其他模型，例如循环标记系统，蚂蚁自动机等
。不太直观的想法是，“计算”几乎隐藏在所有地方……Wolfram写了1192页，其中充斥着数字和文字，以更好地工作。在他的《一种新的科学》中表达了这个想法（是的……是的……尽管有一些批评，我最终还是购买了它的印刷版：-）

一些好候选人不在我的脑海：

• 每个NFA都有一个等效的DFA

• $p$$p^i$$i \in \mathbb{N}$$i > 0$

• 公钥加密

  • 调用带有加密参数的函数并在不泄露有关输入信息的情况下接收所需结果

  • RSA加密

• 里德-所罗门码

• 可数性

  • $|\mathbb{N}| = |\mathbb{Z}| = |\mathbb{N} \times \mathbb{N}| = |\mathbb{Q}|$

  • $\{0,1\}^*$$\mathbb{R}$

  • $|S| < |\mathcal{P}(S)|$

• 从更哲学的角度来看，我感到惊讶的是，图灵机准确地定义了计算