哪种随机算法的错误概率成倍地小？

假设随机算法使用随机位。人们可以期望的最低错误概率（低于确定性算法，错误为0）为。哪种随机算法可以实现这种最小的错误概率？ $r$ $2^{-\Omega(r)}$

我想到的几个例子是：

采样算法，例如，一个人想要估计可以检查成员资格的集合的大小。如果一个人随机地对要检查的元素进行均匀采样，则切尔诺夫边界将确保错误概率呈指数级降低。
用于计算最小生成树的Karger-Klein-Tarjan算法。该算法以1/2的概率选择每个边缘，然后递归地找到样本中的MST。一个人可以用切尔诺夫（Chernoff）来论证说，有2n + 0.1m的边缘要好于树木，这并不是指数级增长的可能性（即，人们更愿意将它们带到树木的边缘之一上）。

您能想到其他示例吗？

遵循以下Andras的回答：的确，每个多项式时间算法都可以转换为错误指数概率较小的较慢的多项式时间算法。我的重点是尽可能高效的算法。特别是，对于我给出的两个示例，有确定性的多项式时间算法可以解决这些问题。对随机算法的兴趣是由于它们的效率。

randomized-algorithms

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
source

这不是一个完整的答案，但是在随机数字线性代数方面已有一些工作。youtube.com/watch?v=VTroCeIqDVc

— 宝贝龙

也许无法期待它，但是一个人当然可以希望（仍然“仍然缺乏确定性算法，错误为0”）对于所有实数

c

$c\hspace{-0.02 in}$ 如果

c < 1

$\: c<1 \:$ 然后有一个算法

$\hspace{.34 in}$ 错误概率为

2^{- c \cdot r}

$2^{-\hspace{.01 in}c\cdot r}\hspace{-0.03 in}$ 。

$\:$ 我相信多项式身份测试就是这样的问题。

$\hspace{.49 in}$

@RickyDemer我不明白您的评论。通常的PIT随机算法具有随机性不是指数的误差。那你在说什么您是说可能存在针对任何BPP问题的算法吗？

— Sasho Nikolov

现在，我意识到我实际上看不到任何显示PIT在我所描述的班级中的方法。

$\:$ 另一方面，令

为

超多项式

S

$S$

d

$d$ （即让length（S）为length（d）的超线性）足以满足Schwartz-Zippel引理

$\:$ （继续 ...）

$\;\;\;\;$

许多概率方法构造都具有这种行为，不是吗？例如，选择一组随机的二进制字符串，然后查看它们最接近的一对-距离小于

两个字符串的概率非常小。-------------------------------------------------- -----------------------本着BPP的精神，请回答以下问题：给定一个恒定度的扩展器，其中有n个顶点和

标记的顶点，的长度的随机游走概率

错过一个标记顶点是

，如果

n / 4

$n/4$

n / 2

$n/2$

O (t)

$O( t )$

2^{- Ω (t)}

$2^{-\Omega(t)}$

。

t = Ω (\log n)

$t = \Omega( \log n)$

— Sariel Har-Peled

Answers:

Impagliazzo和Zuckerman证明（FOCS'89，请参见此处）证明，如果BPP算法使用随机位来实现至少2/3的正确性概率，则在扩展图上应用随机游走，可以将其提高到正确性概率使用随机位，取。（请注意：尽管作者在摘要中使用了特定的常数2/3，但也可以用大于1/2的任何其他常数代替。） $r$ $1-2^{-k}$ $O(r+k)$

如果我们取，这意味着，任何 BPP算法实现了恒定误差概率，采用随机比特，可以是（非平凡）改善到具有错误概率。因此，（除非我误解的东西），误差概率是可以实现的每一个在BPP问题。 $k=r$ $< 1/2$ $r$ $2^{-\Omega(r)}$ $\leq 2^{-\Omega(r)}$

— 安德拉斯·法拉戈（Andras Farago）
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这种放大技术的问题在于它们减慢了算法的速度。新算法可能仅使用O（r）个随机位，但其运行时间为r倍（原始运行时间）。例如，如果r在输入大小n中至少是线性的（通常是线性的），则只需将算法减慢n倍。多数算法

— 学家

我不确定这是您要找的东西，但它与以下内容有关：

假设我想找到一个随机的位素数。常用的算法是选择一个随机的（奇数）位整数，并对其进行轮Miller-Rabin素数测试，然后重复进行直到找到可能的素数。此过程返回一个复合数字的概率是多少？将此概率称为。 $k$ $k$ $t$ $p_{k,t}$

Miller-Rabin素数检验的标准分析表明，轮给出的故障概率至多为。此，与素数定理沿，意味着 $t$ $4^{-t}$

p_{ķ ， Ť} \leq Ø （ ķ \cdot 4^{- Ť} ） 。

$p_{k,t} \leq O(k\cdot 4^{-t}).$

但是，我们在随机输入上运行Miller-Rabin测试，因此我们可以使用平均情况下的错误保证。我们得到了更好的约束。特别地，对于， $t=1$ 就是说，只有一次重复测试，我们就能得到指数级的失败概率！

p_{ķ ， 1个} \leq 2^{- （ 1个 - Ø （ 1个 ） ） \frac{ķ \ln \ln ķ}{\ln ķ}} \leq 2^{- \overset{〜}{Ω} （ ķ ）} 。

$p_{k,1} \leq 2^{-(1-o(1))\frac{k \ln\ln k}{\ln k}} \leq 2^{-\tilde\Omega(k)}.$

有关更多详细信息，请参见Erdös和Pomerance（1986），Kim和Pomerance（1989）以及Dåmgard，Landrock和Pomerance（1993）。

$O(k^2)$ $O(k)$

— 托马斯支持莫妮卡
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