使用一些抛硬币找到有偏差的硬币

在研究过程中出现了以下问题，并且非常干净：

您有硬币的来源。每个硬币都有一个偏差，即它掉在“头上”的概率。对于每个硬币，独立的概率为2/3，其偏差至少为0.9，其余概率的偏差可以为[0,1]中的任何数字。您不知道硬币的偏见。您在任何步骤都可以做的就是抛硬币并观察结果。

对于给定的N，你的任务是找到一个硬币偏置至少0.8的概率至少是。您可以仅使用O（n）个抛硬币来做到这一点吗？ $1-\exp(-n)$

ds.algorithms pr.probability

— 达娜·莫什科维兹（Dana Moshkovitz）
source

似乎不太可能对我来说，因为

抛似乎只需要确定给定的硬币是高偏差或不自信

。（我们还可以假设每个硬币的偏差为

或

。）您有什么比

抛掷更好的了吗？

O (n)

$O(n)$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

0.9

$0.9$

0.8 - ϵ

$0.8-\epsilon$

O (n^{2})

$O(n^2)$

— usul 2015年

我没有检查数学，但是以下想法看起来很有希望：对于每个硬币（连续）进行以下测试。选择一个参数

，例如

然后使用硬币在线上随机行走。在每一步

，如果来自远漂移

小于

，则丢弃该硬币。偏差为.9的硬币应以恒定的概率通过此测试，失败的硬币应在预期的O（1）步后失败，除非偏差的硬币非常接近

。采摘

之间随意

和

的每个硬币可能会解决这个问题。

p

$p$

0.85

$0.85$

i

$i$

0

$0$

p \cdot i

$p \cdot i$

p

$p$

p

$p$

.84

$.84$

.86

$.86$

— daniello 2015年

将

是好吗？您知道抛弃

的解决方案吗？

O (n \log n)

$O(n\log n)$

o (n^{2})

$o(n^2)$

— 罗宾·科塔里

观察＃1：如果您知道所有硬币的偏差至少为0.9或最大为0.8，则有可能使用O（n）掷出概率为1-exp（-n）的偏差至少为0.9的硬币：拿一个硬币，i = 1,2,3，...，将硬币掷2 ^ i次，并检查正面的分数是否至少为0.89。如果不是，请重新换一个硬币。关键引理：如果在阶段i重新启动，则抛硬币的次数少于2 ^ {i + 1}，并且概率最高为exp（-\ Omega（i））。

— Dana Moshkovitz

O（nlogn）翻转很有可能是必要且足够的-但是我们还没有证明。

— Dana Moshkovitz

以下是一个相当简单的 $O(n \log n)$ 抛算法。

假设 $1-\exp(-n)$ 是我们的目标错误概率。令 $N$ 为 $2$ 介于 $100n$ 和 $200n$ （只是足够大的常数乘以 $n$ ）。我们维持候选集币， $C$ 。最初，我们将 $N$ 硬币放入 $C$ 。

现在对于 $i=1,\dots,\log N$ ，请执行以下操作：将
每个硬币掷给次（只是一个足够大的常数）。保持硬币的正面最多。 $C$ $D_i = 2^i 10^{10}$
$N/2^i$

该证明基于切尔诺夫的几个边界。主要思想是，我们每次应征者的数量减半，因此每枚硬币的投掷费用是两倍。

— 卡斯珀·格林·拉森（Kasper Green Larsen）
source

（1）更好地写下证明是很好的-这个问题的大部分困难在于切尔诺夫界限的阈值位置（您希望从0.9个偏向硬币中看到多少个头）？。（2）您能证明需要掷硬币吗？

— Dana Moshkovitz

精妙之处在于：您从n个硬币开始，并且除了prob exp的n小之外，至少有0.6n个硬币的偏差为0.9。现在有一个恒定的概率，即0.9个偏向硬币会输给比赛：1个偏向小于0.8的硬币（可能一直掉到头上！），2个偏向0.80.8 / logn，...，n / 10个偏差为0.9-1 / log n的硬币。以类似的方式继续，在这种情况下，所选代币的偏差会随着每次迭代而降低，直到留下的代币<0.8。

— Dana Moshkovitz

这或多或少是Evan-Dar等的中值消除算法。等如Mannor和Tsitsiklis在“多武装强盗问题中的勘探的样本复杂性”中所示，当在这种情况下已知目标偏差时，可以将其用于投掷预期的

硬币。

O (n)

$O(n)$

— Kristoffer Arnsfelt Hansen

感谢您的参考！我对一次需要抛硬币的最大数量感兴趣，在这种情况下，它们的下限为n ^ 2。但是，他们考虑的问题与我的不同。他们有n个硬币，可能只有一个偏差最大，因此他们想找到一个偏差类似的硬币。在我的设置中，我知道至少有0.6n个硬币的偏差可以接受（n中的概率指数小）。

— Dana Moshkovitz

我猜预期

扔容易让我们的问题：开始第一个硬币，做

扔在一些大的常数

-notation。如果至少冒出

次，请将其退回。否则继续下一个硬币。正确性概率是

和由输入硬币是0.9偏压独立地被概率

，到达的概率

O (n)

$O(n)$

m = Θ (n)

$m=\Theta(n)$

Θ (\cdot)

$\Theta(\cdot)$

0.85 m

$0.85m$

1 - \exp (- n)

$1-\exp(-n)$

2 / 3

$2/3$

i

$i$ “个硬币是小于

并且因此抛预期数目是

。

(1 / 2)^{i}

$(1/2)^i$

\sum_{i = 0}^{\infty} m / 2^{i} = O (m) = O (n)

$\sum_{i=0}^\infty m/2^i = O(m) = O(n)$

— 卡斯珀·格林·拉森