决定一个家庭是否是Sperner家庭的复杂性

我们为{1，...，n} 的个子集提供了一个家庭是否有可能在确定是否为Sperner家族的复杂性上找到一个重要的下限？微小的下限是，我强烈怀疑它不紧密。 $\mathcal{F}$ $m$ $\mathcal{F}$ $O(n m)$

回想一下，一组是一个Sperner家庭如果和在 ; 意味着和。 $\mathcal{S}$ $X$ $Y$ $\mathcal{S}$ $X \ne Y$ $X \nsubseteq Y$ $Y \nsubseteq X$

ds.algorithms co.combinatorics

— 安东尼·勒弗里尔
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所以你问是否有nm 的上限？

— Suresh Venkat 2010年

基本上是。实际上，我想证明没有任何一种算法能够在复杂度O（mn）下成功（在最坏的情况下）。

— Anthony Leverrier，2010年

如何给子集？“邻接矩阵”还是“边缘列表”？

— Yuval Filmus

输入是邻接矩阵。

— 安东尼·勒弗里尔

+1试图使我们解决矩阵乘法问题而没有意识到。:-)

— Peter Shor

你不能通过矩阵乘法解决这个问题吗？令集合为，，，。取矩阵成为矩阵，其中如果，否则为0，和成为矩阵，其中如果和否则为0。现在，当且仅当另一组中包含，的条目才为。 $S_1$ $S_2$ $\ldots$ $S_m$ $A$ $m \times n$ $A_{ij}=1$ $j \in S_i$ $B$ $m \times n$ $B_{ij}=1$ $j \notin S_i$ $AB^T$ $0$ $\mathcal{F}$

因此，如果在的情况下证明了的下界，则证明矩阵乘法的下界也相同。这是一个著名的开放问题。 $\Omega(n^{2+\epsilon})$ $m = \theta(n)$

我还没有考虑太多，但是我看不出有什么方法可以证明这种矩阵乘法的特殊情况与一般情况一样困难。如果您确实需要一个下限，这似乎是您在不解决矩阵乘法问题的情况下证明自己的唯一希望。

从好的方面来说，这提供了比使用的天真的算法更好的算法。 $\theta(m^2n)$

— 彼得·索尔
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