无线网络中本地化的复杂性

让不同点坐在\ mathbb {R} ^ 2中。如果| ij |，我们说点i和j是邻居。<3 \ pmod {n-2}，这意味着每个点都是索引在2以内的点的相邻点。$1 ... n$我$\mathbb{R}^2$$i$$j$$|i-j| < 3 \pmod{n-2}$$2$

问题是：

对于每对邻居，我们都获得了它们的成对距离（并且我们知道哪个距离对应于哪些点），并且我们想要重构所有点的成对距离。我的问题是，这个本地化问题的复杂性是什么？

我不知道多项式时间算法。

这是由传感器网络中的本地化问题引起的，临时放置的代理可以与他们的词典词典邻居进行无线通信，并且我们希望重建其位置。

我对几何/定位问题了解不多，所以这可能很容易或为人所知。我所知道的最接近的问题是Turnpike问题，该问题最近由@Suresh Venkat在此论坛上指出。

（我没有一个真实的答案，但是这个评论太长了，所以无论如何都要在这里发表...）

通过减少子集和问题，我怀疑该问题是NP难题。一个证明思想：

归约：如果子集和实例中的第个元素为，则节点和之间距离为，和之间的距离为，和之间的距离也为，和之间的距离为。$i$$x_i$$2i-1$$2i$$s$$2i-1$$2i+1$$x_i$$2i$$2i+2$$x_i$$2i$$2i+1$$\sqrt{s^2 + x_i^2}$

假设所有和之间的边都是垂直的。然后整个图由带有对角线的矩形链组成。然而，可以通过“翻转”每个矩形，使得是任一上的左侧或右侧。并且您需要找到正确的翻转子集，以便最后一个节点与节点之间的距离是“正确的”（并且和之间的距离是正确的，而和之间的距离是正确的）是正确的）。$2i-1$$2i$$i$$2i+2$$2i$$2i$$n = 2k$$2$$2k-1$$1$$2k-1$$2$

到目前为止，还不错，但是我们的矩形并不是真正的刚性。我们也可以沿对角线翻转。但是，我认为，如果我们选择一个讨厌的值，那么也许我们可以证明，如果我们沿对角线翻转（例如的坐标将是不合理的），一切都会变得非常错误？不过，这可能需要对值进行一些调整。$s$$2k$$x_i$

它实际上是NP难的。请参阅以下文件以获取参考。

Sriram V. Pemmaraju，Imran A. Pirwani：单位球图的高质量虚拟实现。ESA 2007：311-322

Drineas等。撰写了从不完整距离信息重构距离矩阵进行传感器网络定位的论文。但是他们实现的可能不完全是您所要求的：即使存在噪声和节点故障，他们也可以从不完整的地图中计算出整个距离图。