复制语言的状态复杂度是多少？

设数字。考虑以下语言 $n$ 。 $L_n = \{ \; ww \; \vert \; w \in \{0,1\}^{n} \; \}$

换句话说，是长度为的复制字符串的集合。 $L_n$ $2n$

考虑下面的状态复杂度函数，使得是最小的下推自动机中识别。 $s$ $s(n)$ $L_n$

问题：您可以正式证明任何有意义的下界吗？ $s(n)$

我的猜想： 。 $s(n) = 2^{\Theta(n)}$

已知UPPERBOUND： 。 $s(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot 2^{\frac{n}{2}}$

规则：

（1）堆栈字母必须为二进制。

（2）输入带是单向的，不能停在任何输入字符上。

— 迈克尔·韦哈
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我目前没有任何有意义的下限。在我看来，您也许能够证明可识别该语言的CFG所需的变量数量的下限。虽然，我什至不能完全确定这一点。

— Michael Wehar 2015年

我的直觉是，当您将字符从输入磁带推入堆栈时，就会遇到问题。如果以后要检索这些位，则必须丢弃所有在其上压入的位。换句话说，堆栈似乎无济于事，因为您压入堆栈的次数越多，以后被迫忘记的次数就越多。

— Michael Wehar 2015年

备注：对于DFA（无堆栈自动机），可以证明指数状态复杂度的下限。

— Michael Wehar 2015年

您能为

这个更简单的问题给出一个合理的下界吗？

{0^{k} 1^{l} 0^{k} 1^{l}}

$\{0^k1^l0^k1^l\}$

— 安德拉斯·萨拉蒙

一个更精确的上限似乎是

状态。

(n + 3) 2^{n / 2}

$(n+3)2^{n/2}$

— 安德拉斯·萨拉蒙

Yuval描述的技术：

是否存在描述此有限语言的多项式大小CFG？

（您可能还会阅读：特定有限语言的CFG大小的下限）

可以很容易地显示CFG的指数下限。令以Chomsky范式表示的语法。对于每一个字存在至少一个非末端接受子字的之间具有长度和。令为的位置 $G$ $L_n$ $w\in \{0,1\}^n$ $A(w)$ $s(w)$ $ww$ $n/2$ $n$ $p(w)$ $ww$ 该子字出现的位置。所有单词至少共有位这样和。因此，最多可以有单词具有相同的和。因此，至少有 $n/2$ $w,w'$ $A(w)=A(w')$ $p(w)=p(w')$ $2^{n/2}$ $A(w)$ $p(w)$ 非末端。 $2^{\Theta(n)}$

此外，PDA可被转换成一个在CFG CNF，多项式大小的所以这也给出了结合在状态复杂。 $2^{\Theta(n)}$ $L_n$

— 约瑟夫·斯塔克
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太棒了，再次感谢！我现在看到了，会考虑确认。:)

— Michael Wehar 2015年

[n, 2 n]

$[n,2n]$

[n / 2, n]

$[n/2,n]$

(A (w), p (w))

$(A(w),p(w))$

A (w)

$A(w)$

w w

$ww$

p (w)

$p(w)$

另请参阅我的论文中的定理7：cs.toronto.edu/~yuvalf/CFG-LB.pdf。

— Yuval Filmus

@YuvalFilmus还值得注意的是，安德拉斯花了一些时间试图使上下限匹配。我和我的朋友佩佩（Pepe）定义了一类通用的有限语言，并将该技术应用于它们。不过，我们从未写过任何东西。如果您有任何相关问题，我们将非常乐于合作。再次感谢。

— Michael Wehar 2015年