MLTT是否在没有支持的情况下有效地进行pCiC？

Martin-Löf类型理论是否基本上是没有强制性的归纳构造的谓词演算？$\mathtt{Prop}$

如果它们紧密相关，但差异不仅限于，这些差异是什么？$\mathtt{Prop}$

简短的答案是肯定的，可以将MLTT等同于CIC而不用强制Prop。

主要的技术问题是，当一个人谈论Martin-Löf类型理论时，可能会有数十种变体，而当一个人谈论CIC时，也许更令人惊讶。例如，采用本杰明·沃纳（Benjamin Werner）论文中定义的CIC版本，将其删除甚至没有意义Prop，因为其中既不存在也不Set存在Type。

在这两种理论中，可以考虑的主要变化是：

1. 宇宙：有多少，以及如何定义（Palmgren，《类型理论中的宇宙》，讨论了许多不等价的变体），以及是否承认宇宙多态性。

2. 哪些归纳类型/族：Agda接受归纳递归类型，但是还有更多的普通变化，具体取决于允许在构造函数和消除符中使用的类型有多“大”，处理参数与索引的关系等等。

3. 类型构造器的可注入性。这导致系统与Agda中的EM不一致。当然，Epigram有一个更为极端的“观测类型理论”，但这可以被认为是完全不同的东西。

4. 公理K：某些版本的依赖模式匹配免费提供。

5. 有意与扩展：这是一个巨大的差异，本质上是在扩展系统 这使得类型检查变得不确定（但功能更强大！）。Martin-Löf本人似乎已经考虑了两种类型的系统。

   $$\frac{\Gamma\vdash t:\mathrm{Id}_{\mathrm{Type}}\ A\ B }{\Gamma\vdash A\ =\ B}$$

6. 共归类型和相关消除原理的存在。

所有上述变体（OTT除外）均已在文献中进行了考虑，并与名称“Martin-Löf类型论”或“归纳构造微积分”相关联，主要是因为它们分别与Agda和Coq系统相关联。

因此，很长的答案是，关于这两个系统的确切定义尚无共识。