为什么Odlyzko对Shor算法的改进使试验次数减少到

彼得·W·索尔（Peter W. Shor）在1995 年的量子计算机上用于质因数分解和离散对数的多项式时间算法中，讨论了其因数分解算法的阶数查找部分的改进。标准算法输出，它是模阶的除数。改进不是通过检查来检查，而是进行以下改进： $r'$ $r$ $x$ $N$ $r'=r$ $x^{r'}\equiv 1 \mod N$

[F]或候选项不仅应考虑还应考虑其小的倍数，看看它们是否为的实际阶数。[...] 如果的第一个（倍数，则将最困难的预期的试验次数从到被认为是[1995 Odylzko]。 $r$ $r ′$ $2r ′ , 3r ′ , \dots$ $x$ $n$ $O(\log \log n)$ $O(1)$ $\log n)^{1+\epsilon}$ $r ′$

[Odylzko 1995]的引用是“个人交流”，但是当Peter Shor和Andrew Odlyzko讨论此问题时我不在场……我完全理解为什么它是一种改进，但是我不知道如何显示数字的试验减少为。你知道任何证据吗？ $O(1)$

quantum-computing nt.number-theory factoring

— 弗雷德里克·格罗斯汉斯
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该算法做什么？本质上，它需要和一个随机并输出。因此，如果您检查所有小倍数，那么很可能是其中之一。为什么给出？那就是数论。安德鲁·奥德利兹科（Andrew Odlyzko）是数字理论家，我就此问题咨询过他，但我完全忘记了他对此的辩解。

r

$r$

ℓ \leq r

$\ell \leq r$

r^{'} = r / g c d (ℓ, r)

$r' = r/gcd(\ell,r)$

r^{'}

$r'$

r

$r$

(\log n)^{1 + ϵ}

$(\log n)^{1+\epsilon}$

O (1)

$O(1)$

— 彼得·索尔

谢谢！看来我需要亲自寻找数字理论家！

— 弗雷德里克Grosshans

您可能需要尝试MathOverflow。

— 卡夫

我正在考虑。如果我不能尽快得到答案，我可能会以一种更为“数论”的方式重新制定它。我认为可以将其改写为总功能。

— 弗雷德里克Grosshans

@Kaveh：MathOverflow上的一个相关问题，问一个相关的数论问题，我认为这是等效的。

— 弗雷德里克Grosshans

Terry Tao关于MathOverflow 的答案。

— Kaveh
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