将“中间技巧”推广到更高维度？

对于采用实数值的随机算法$\mathcal{A}$，“中位技巧”是一种将失败概率降低到任何阈值的简单方法$\delta > 0$，其代价是仅乘以$t=O(\log\frac{1}{\delta})$开销。即，如果$\mathcal{A}$的输出落入‘良好范围’$I=[a,b]$的概率（至少）$2/3$，然后运行独立拷贝$\mathcal{A}_1,\dots,\mathcal{A}_t$并考虑它们的输出的中间值$a_1,\dots,a_t$将导致下降的值$I$的概率至少是$1-\delta$由切尔诺夫/ Hoeffding界限。

有没有把这个“技巧”推广到更高的维度，例如$\mathbb{R}^d$，现在好的范围是凸集（或球，或任何足够好的结构化集）？即，给定一个随机算法$\mathcal{A}$输出在值$\mathbb{R}^d$，和一个“好一套” $S\subseteq \mathbb{R}^d$使得$\mathbb{P}_r\{ \mathcal{A}(x,r) \in S \} \geq 2/3$对于所有$x$，如何能一个升压成功的概率为$1-\delta$对数成本只有$1/\delta$？

（表述是不同的：给定的固定，arbirary $a_1,\dots, a_t\in \mathbb{R}^d$与保证至少$\frac{2t}{3}$的$a_i$的属于$S$，有没有输出从一个值过程$S$？如果是这样，那有没有效率？）

为了达到上述要求，一个人对的最低假设$S$是什么？

抱歉，这真是微不足道-我找不到这个问题的参考...

您正在寻找的几乎是一个强大的 集中趋势：一种将数据点云减少到单个点的方法，这样，如果许多数据点接近某个“基本事实”，而其余数据点都接近任意远，那么您的输出也将接近地面真相。这种方法的“崩溃点”是它可以容忍的任意严重异常值的一部分。区别在于，在您的情况下，您希望将“接近”替换为“在的凸包内”。

捕获这一点的一种方法是使用Tukey深度的概念。如果每个包含给定点的半空间也包含至少p n个数据点，则该点的Tukey深度为（相对于给定的n个数据点的集合）。如果要在其中包含一个良好的凸子空间，则在其中具有Tukey深度p的点将在其中，只要其中至少有（1 - p ）n个数据点即可。因此，该方法的故障点是您可以获得的p的最大值。$p$$n$$pn$$p$$(1-p)n$$p$

不幸的是，对于Tukey深度和您的问题，此击穿点都是，不接近1/2。这里的原因：如果你的数据是接近聚集d + 1个一个单纯的顶点，那么只要少于1 /（d + 1 ）的他们是异常值（但你不知道哪些）在随后的任何一点分数单纯形很安全，因为它将始终位于非离群值的凸包内。但是如果超过1 /（d + 1 $1/(d+1)$$d+1$$1/(d+1)$$1/(d+1)$ 点中的点可能是离群值，没有安全的地方可供选择：无论您选择单形中的哪个点，离群值都可能是来自最接近的单纯形顶点的所有点，并且您将位于非正则点的外壳之外离群值。

如果您愿意忍受更差的击穿点，更像，则可以使用一种随机方法来找到一个在n和d中都为多项式的深点：请参阅我的论文$O(1/d^2)$$n$$d$

用迭代的Radon点近似中心点，K。Clarkson，D.Eppstein，GL Miller，C.Sturtivant和S.-H。滕， 第9届ACM征兆。比较 几何 ，圣地亚哥，1993年，第91-98页， 诠释。J.比较 几何 和应用 6（3）：357-377，1996年，http：//kenclarkson.org/center/p.pdf

这是一个整洁的问题，我之前已经考虑过。这是我们想到的：

你运行你的算法次获得输出X 1，⋯ ，X ñ ∈ [R d，你知道什么是高概率很大一部分的X 我落进一些好的设置摹。您不知道G是什么，仅仅是G是凸的。好消息是，有一种方法可以在G中获得要点，而无需进一步的信息。将此点称为f （x 1，⋯ ，x n）。$n$$x_1, \cdots, x_n \in \mathbb{R}^d$$x_i$$G$$G$$G$$f(x_1, \cdots, x_n)$

定理。对于所有自然数和d，都有一个函数f ：（R d ）n → R d，使得以下成立。令x 1。。。X Ñ ∈ [R d和让ģ ⊂ ř ð是满足凸集$n$$d$$f : (\mathbb{R}^d)^n \to \mathbb{R}^d$$x_1 ... x_n \in \mathbb{R}^d$$G \subset \mathbb{R}^d$然后˚F（X1，。。。，XÑ）∈ģ。而且，f可在nd的时间多项式中计算。 $$\frac{1}{n}\left|\left\{ i \in [n] : x_i \in G \right\}\right| > \frac{d}{d+1}.$$ $f(x_1, ..., x_n) \in G$$f$$n^d$

注意，对于，我们可以将f设置为中位数。因此，这说明了如何推广d > 1的中位数。$d=1$$f$$d>1$

之前证明了这个结果，需要注意的是紧张：咱们，让X 1，⋯ ，X d是标准的基础元素和X d + 1 = 0。的任意子集d的点的被包含在仿射空间ģ尺寸d - 1（其被唯一地由这些点定义的）。但是所有这些仿射空间都没有任何意义。因此，有一些凸ģ包含Ñ ⋅ d /（d $n=d+1$$x_1, \cdots, x_d$$x_{d+1}=0$$d$$G$$d-1$$G$点，但不包含 f （x 1，⋯ ，x n），无论取什么值。$n\cdot d/(d+1)=d$$f(x_1, \cdots, x_n)$

证明。我们使用以下结果。

Helly定理。令是R d的凸子集。假设任何d + 1 K i s 的交集都是非空的。那么所有K i s 的交集都是非空的。$K_1 ... K_m$$\mathbb{R}^d$$d+1$ $K_i$$K_i$

单击此处以获取Helly定理的证明。

现在证明我们的定理：

令为不在G中的点数的上限。考虑所有封闭的半空间K 1。。。ķ 米 ⊂ - [R d含有至少ñ - ķ点与他们自己的边界包含一组最大秩的点（这是半空间的有限数目，因为每个ķ 我由下式定义d + 1点其边界上）。$k<n/(d+1)$$G$$K_1 ... K_m \subset \mathbb{R}^d$$n-k$$K_i$$d+1$

每个的补数最多包含k个点。通过结合的联合，相交任何d + 1 ķ 我 S包含至少ñ - ķ （d + 1 ） > 0分。根据Helly定理（由于半空间是凸的），所有K i s的交点中都有一个点。我们让f为一个计算K i s 交点中任意点的函数。$K_i$$k$$d+1$ $K_i$$n-k(d+1)$$K_is$$f$$K_i$

剩下的一切只是为了证明 s 的交集包含在G中。$K_i$$G$

不失一般性，是具有完整等级的点的子集的凸包。也就是说，我们可以用G包含的点的凸包替换G。如果这还不完整，我们可以简单地在较低维度上应用我们的定理。$G$$G$

每个面都定义一个半空间，其中G是这些半空间的交集。这些半空间每个都包含G，因此至少包含n - k个点。这些半空间之一的边界包含G的面，因此包含一组最大秩的点。因此，这些半空间中的每一个都是K i。因此，所有的交集ķ 我 s的包含在ģ，根据需要。$G$$G$$G$$n-k$$G$$K_i$$K_i$$G$

为了计算，建立一个线性程序，其中线性约束对应于K i s，而可行解对应于所有K i s 的交点。 优质教育$f$$K_i$$K_i$

不幸的是，此结果在高维环境中不是很实际。一个好问题是我们是否可以更有效地计算：$f$

公开问题。用另外的结论证明上述定理，即可以在n和d的时间多项式中计算。 $f$$n$$d$

另外：我们还可以更改问题以获得有效的解决方案：如果具有严格意义上超过一半位于球B （y ，ε ）中的性质，那么我们可以找到点z该在于乙（Ý ，3 ε ）在时间多项式在ñ和d。特别地，我们可以为任意i设置z = x i，使得严格超过一半的点在$x_1, \cdots, x_n$$B(y,\varepsilon)$$z$$B(y,3\varepsilon)$$n$$d$$z=x_i$$i$。$B(z,2\varepsilon)$

在高维和一般规范中都有一组点的中位数的概念，这以各种名称而闻名。仅仅是使集合中所有点的距离之和最小的点。众所周知，它具有与通常的中值相似的置信度放大特性，并且距离相乘很小。您可以在本文的定理3.1中找到详细信息：http : //arxiv.org/pdf/1308.1334.pdf

本文显示的一件好事是，如果可以从任意高（但常数<1）的置信度中进行放大，则可以将距离增加的因子设为任何常数> 1。

编辑：Hsu和Sabato对此主题发表了另一篇最新文章http://arxiv.org/pdf/1307.1827v6.pdf 它主要分析并应用将中间距离最小的集合中的点应用于其余部分的过程点的使用。此过程可用于任何度量标准，但只能得出近似因子3。