猜想：所有FPT NP完全语言都是固定参数同构的

Berman-Hartmanis猜想：所有NP完全语言看起来都是相似的，因为它们可以通过多项式时间同构[1]相互关联。

我对“多项式时间”的更细粒度的版本感兴趣，也就是说，如果我们使用参数化约简的话。

参数化问题是的子集$Σ^∗ × Z \geq 0$，其中$Σ$是有限字母，而$Z\geq 0$是非负数的集合。因此，参数化问题的一个实例是对$(I, k)$，其中$k$是参数。

一个参数化的问题$π_1$固定参数还原为一个参数化的问题$π_2$如果存在功能$f$，$g$：$Z≥0 → Z≥0$，$Φ : Σ∗ × Z≥0 → Σ^∗$和一个多项式$p(·)$这样对于任何实例$(I, k)$的$π_1$，$(Φ(I, k), g(k))$是一个实例$π_2$在时间可计算$f(k) · p(|I|)$和 $(I, k) ∈ π_1$当且仅当$(Φ(I, k), g(k)) ∈ π_2$。如果两个参数化问题彼此可还原，则它们是固定参数等效项。

一些NP完全问题是FPT，例如，顶点覆盖问题的决策版本是NP-Complete，它具有$O(1.2738^k + kn)$算法[2]。找到NP-Complete的FPT问题的更好的固定参数归约可以导致更好的算法，例如，通过对Multiway Cut问题的“高于保证版本”进行归约可以导致算法在时间$O^*(4^k)$用于AGVC（以上保证顶点覆盖）问题[3]，它比原始的$O^*(15^k)$算法[4] 更好。

$\textbf{My Conjecture: All FPT NP-complete languages are fixed-parameter-isomorphic.}$

那猜想是真的吗？

[1] Berman，L .；Hartmanis，J.（1977），“关于NP和其他完整集的同构和密度”，SIAM计算杂志6（2）：305-322。

[2] Chen J.，IA Kanj和G.Xia，顶点覆盖的改进上限，Theor.Comput。Sci。，411（2010），第3736-3756页。

[3] M. Cygan，M。Pilipczuk，M。Pilipczuk和JO Wojtaszczyk，“在下限上方参数化的多路切割上”，在IPEC中，2011年。

[4] M. Mahajan和V. Raman，参数化上述保证值：Maxsat和maxcut，J。Algorithms，31（1999），第335-354页。

塞尔吉·加斯珀斯（Serge Gaspers）已经提到了为什么您的猜想是真实的。
但是，实际上可以得到多项式时间固定参数同构，
我现在意识到它并不是那么琐碎，因为它适用于每
对有序的非琐碎FPT问题，且通常意义上有所减少。

令为大于的FPT算法度的整数， 并令和分别为的yes和no实例。 以下是从到的多项式时间固定参数缩减：$c$$\pi_1$
$Y$$N$$\pi_2$
$\pi_1$$\pi_2$

在上尝试FPT算法最多进行步骤。 如果给出答案，则按照该答案 输出或 否则，输出从到应用普通多项式时间约简的结果。 正确性和多项式运行时间是显而易见的。由于大于的FPT算法的度数，因此对于每个固定，只有有限多个输入长度，FPT算法的最大运行时间不小于$\pi_1$$n^{\hspace{.02 in}c}$
$Y$$N$
$\pi_1$$\pi_2$


$\:$$c$$\pi_1$$k$$n$$n^{\hspace{.02 in}c}$。因此，对于每个固定的，上述缩减只具有有限的多个输出。因此，它满足您的固定参数条件。$\:$$k$$\:$