多项式内核

k-FLIP SAT参数化问题定义为：

输入： 3-CNF公式$\varphi$ 与 $n$ 变量和真值分配 $\sigma : [n] \to \{0,1\}$
参数： $k$
问题：我们可以改变作业吗$\sigma$ 达成令人满意的任务 $\sigma'$ 对于 $\varphi$ 最多翻转真实值$k$ 变量？

FPT 中显然存在此问题（Stefan Szeider：k翻转SAT和MAX SAT局部搜索的参数化复杂性。离散优化8（1）：139-145（2011））

它是否接受多项式内核？（在合理的复杂度假设下）

最近的交叉合成技术（请参见Hans L. Bodlaender，Bart MP Jansen，Stefan Kratsch，“通过交叉合成实现内核化下界”）对于此问题似乎没有用。而且，它们对于类似的问题似乎毫无用处，这些问题询问是否可以通过本地搜索从给定实例中找到给定的NP难题问题的给定解决方案（在某种自然距离度量下，将搜索限制为给定实例的邻居）。

除非NP位于coNP / poly中，否则问题就不会具有多项式内核。我们论文的交叉合成技术以非平凡的方式应用。

让我展示一下经典的“顶点覆盖”问题是如何与k-FLIP-SAT问题进行交叉组合的。根据引用论文中的结果，这已足够。具体来说，我们建立一个多项式时间算法，其输入是一系列“顶点覆盖”实例$(G_1,k), (G_2, k), \ldots, (G_t, k)$ 都具有相同的价值 $k$ 所有人都有 $n$顶点。输出是的实例$k$-FLIP SAT，参数值为 $O(k + \log t)$，对于交叉组合来说足够小，以至于 $k$-FLIP SAT实例的答案为是，只要其中一个输入图的顶点覆盖大小为 $k$。通过复制一个输入（不会更改OR的值），我们可以确保输入的数量$t$ 是二的幂。

组成如下进行。在每个输入图形中对图形中的顶点进行编号$G_i$ 如 $v_{i,1}, v_{i,2}, \ldots, v_{i,n}$。在FLIP-SAT实例中为每个输入图的每个顶点创建一个相应的变量。此外，使选择器变量$u_i$ 对于每个输入实例号 $i \in [t]$。对于每个输入图$G_i$，我们在公式中添加了一些子句。对于每个边缘$\{v_{i,x}, v_{i,y}\}$ 图的 $G_i$，添加子句 $(v_{i,x} \vee v_{i,y} \vee \neg u_i)$ 公式，它将编码为“该边的端点之一设置为true，或实例 $i$ 不活跃”。在初始分配中，所有顶点变量均设置为false，所有选择器变量 $u_i$设置为false，以便满足所有这些子句。为了将OR行为构建到合成中，我们将增加公式，以确保满足要求的分配将至少一个选择器设置为true，然后还必须形成所选图形的顶点覆盖。

为了确保我们可以进行选择，同时保持与输入数量相比较小的翻转距离 $t$，我们使用完整的二叉树的结构 $t$ 叶子，有高度 $\log t$。编号树叶$1$ 至 $t$ 并关联 $i$带有变量的第四个叶子 $u_i$ 控制是否输入 $i$是否活跃。为二叉树的每个内部节点创建一个新变量。对于每个内部节点，让其对应的变量为$x$ 它的两个孩子的变量是 $y$ 和 $z$。添加子句$(\neg x \vee y \vee z)$ 捕获含义的公式 $(x \rightarrow (y \vee z))$，强制执行 $x$仅当其子级之一为真时才可以为真。要完成该公式，请添加一个singleton子句，其中说二叉树的根节点的变量必须为true。在初始真值分配中，内部节点的所有变量的值均设置为false，这满足公式的所有子句，但单例子句要求树的根节点使其变量为true。

这样就完成了公式和真值分配的描述。设定参数$k'$ FLIP DISTANCE问题的等于 $(k + \log t + 1)$，适用于交叉组合。它仍然表明我们可以翻转$k'$ 一些输入图使公式变为真的变量 $G_i$ 有一个顶点覆盖大小 $k$。

相反，假设 $G_i$ 有一个尺寸$k$顶点覆盖。设置$k$ 对应于 $k$通过翻转将顶点中的顶点变为true。设置选择器变量$u_i$ 为true以对该输入进行编码 $i$ 被激活，然后翻转 $\log t$ 叶路径上的内部二叉树节点 $i$扎根为真。容易验证这是令人满意的分配：二叉树中的含义都得到满足，根节点的值设置为true，检查子句边缘的子句$G_{i'}$ 对于 $i' \neq i$ 保持满意，因为 $u_{i'}$ 仍然为false，而图的子句 $G_i$ 之所以感到满意，是因为对于每条边，我们至少将一个端点设置为true。

对于正向，假设最多可以通过翻转来满足公式 $k + \log t + 1$变量。然后，我们必须将根节点的变量翻转为true。例如，二叉树中的含义强制将叶子的至少一个选择器变量设置为true。$u_i$。为了满足二叉树中编码的含义，从$u_i$ 将根目录设置为true，占 $1 + \log t$翻转。以来$u_i$ 设置为true，为图创建的子句 $G_i$ 对文字不满意 $\neg u_i$，因此它们很满意，因为的每个边缘的端点之一 $G_i$设置为true。由于至少$1 + \log t$ 二叉树的变量最多被翻转 $k$在此解决方案中，顶点变量变为true。这编码了一个大小为$k$ 在 $G_i$并证明输入之一是YES实例。这样就完成了证明。