可计算性理论中有没有相对论的结果？

我读安德烈·鲍尔的纸第一步合成可计算性理论。他在总结中指出，

我们的公理化有其局限性：它不能证明可计算性理论中没有相对于oracle计算相对论的任何结果。之所以如此，是因为该理论可以用有效的主题的变体来解释，该主题是通过具有访问oracle的部分递归函数构建的。

这让我想知道可计算性的非相对论性结果。我从可计算性理论中了解到的所有结果都与Oracle的计算相对应。

可计算性理论中是否存在没有相对论的结果？即，相对于某些oracle，结果是否适用于可计算性，但不适用于可计算性？

结果，我的意思是可计算性理论中的一个已知定理，而不是一些成熟的陈述。如果相对化的概念对结果没有意义，那不是我想要的。

知道结果是否可以用合成可计算性理论的语言陈述也很有趣。

computability relativization

— 匿名
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每个人都知道诸如IP = PSPACE之类的复杂性理论中的非相对论结果。我要问的是非相对论可计算性的结果，而不是 复杂性理论的结果。

— 匿名

@Erfan：您的评论与问题无关。我的问题是关于可计算性理论，您正在谈论复杂性理论。我正在寻找非可恢复的结果，时间分层定理确实会相对化。如果您对时间层次定理和相对化有疑问，可以提出一个单独的问题。

— 匿名

相关内容：H. Rogers提出的同质性猜想在Richard A. Shore中被驳斥；均匀性猜想（1979）：存在不可解度

，使得

是不同构

（图灵度偏序的结构

）。在lo.logic上看到类似的问题

a

$\mathbf{a}$

D (\geq a)

$\mathcal{D}(\geq \mathbf{a})$

D

$\mathcal{D}$

\leq_{T}

$\leq_{T}$

— Marzio De Biasi

好问题:-)

— Andrej Bauer

$\varphi$ $\leq_T$ $\geq_Tx$ $x$ $\geq_Tx$ $x$ $\varphi$ $x$

φ

$\varphi$

— 匿名

Answers:

Higman嵌入定理：有限生成的可计算表示的组恰好是有限表示组的有限生成的子组。此外，每个可计算表示的组（甚至是可计数生成的组）都是有限表示组的子组。

$O$ $O$ $O$ $O$

$O$

另一方面，可能有人争辩说，这个问题“不算在内”，因为它更类似于使用组对可计算性的定义，而不是“可计算性理论的结果”。另一方面，可计算性的定义对模型来说很健壮，但却没有相对论。（与Kleene对可计算函数的描述相反，只需将oracle的特征函数添加到生成的函数集中，即可轻松实现相对论的可计算函数。在Higman嵌入的情况下，似乎没有类似的操作。）

— 约书亚·格罗夫（Joshua Grochow）
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是区分您的示例的有限性（相对于无穷大）还是可计数性（相对于不可数性）？

— 安德拉斯·萨拉蒙

不好意思，希格曼定理是统一的吗？即，给定一个可计算表示的组，是否可以统一计算包含该组的有限生成的组？

— 安德烈·鲍尔

糟糕，请在我的问题中将“有限生成”替换为“有限呈现”。那是一个微不足道的错误。我想知道的是，我们是否可以用更笼统的方式代替“有限呈现”。

— 安德烈·鲍尔

S A T^{O}

$SAT^O$

N P^{O}

$NP^O$

@AndrewMorgan：同意。我认为结类将是一个不错的选择:)。

— 约书亚·格罗肖

这也是我经常想知道的事情！

如果用“可计算性理论的结果”来表示相对于机器模型（Turing机器，RAM机器等）的选择不变的结果，那么我不知道这样的结果的一个例子，我如果我见过，肯定会记得的。

我可以建议的最接近的答案是：我认为在可计算性理论中，有许多有趣的问题可能取决于机器模型。例如：用图灵机的通常定义定义的忙碌海狸功能是否经常无穷奇？BB（20）的值是否独立于ZFC？无论这些问题的答案是什么，对于BB功能的相对类似物，它们肯定会有所不同。

— 斯科特·亚伦森
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这是一个或多或少的小例子：考虑图灵机的停止问题，该图灵机被明确禁止（通过计算模型的定义）访问oracle。相对于没有先知和琐碎的先知，这是无法确定的，但是对于暂停问题，它相对于先知是可决定的。（问题本身相对于oracle而言不会改变，因为它无法访问oracle，但是在给定oracle的情况下，决定问题的（无限制）TM变得更加强大。）

还有很多其他示例。只需稍微使用计算模型，您就可以找到其他类似的结果。

— 菲利普·怀特
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只是好奇：这个答案到底有什么问题？也许拒绝投票的人不相信有可能禁止Turing机器访问oracle并要求对此进行进一步的解释吗？

— 菲利普·怀特

相对性的定义似乎并不十分公平，它允许机器拥有一个先知，但又不允许它使用先知。

— 大卫·埃普斯坦

有趣但不是我想要的。我正在寻找可计算性理论中一个不会相对化的已知结果，而不是关于如何得出这样一个结果的论据。

— 匿名

请考虑以下语句：H（不可使用图灵机的图灵机停止问题）不可计算。另一方面，相对于停止问题预言而言，H是可计算的。即使我们认为这是使陈述相对化的一种方式，也不是一件有趣的事。可能存在类似的方法来使任何使之成为假的陈述相对化。相对化不只是在某个地方附加一个预言。当相对论保留一些有趣的参数类别时，它就很有趣，因此，如果一条语句不相对化，我们就会知道参数类别不能证明该陈述。

— 卡夫

例如，使用BGS中的相对化方法。有趣的是，它保留了简单的对角化参数，因此它们无法解决P对NP。如果相对化没有保留这样的论点，那么它可能不是使陈述相对化的有趣方式。良好的相对化应该尽可能地坚持已知的论点和经过验证的结果，保存得越少，它就越有趣。

— 卡夫