对矩形进行分区而不损害内部矩形

$C$是轴平行的矩形。

$C_1,\dots,C_n$是成对的，内部不相交的轴平行矩形，这样像这样：$C_1\cup\dots\cup C_n \subsetneq C$

甲矩形保留分区的$C$是一个分区$C = E_1\cup\dots\cup E_N$，使得$N\geq n$，所述$E_i$是成对-内部不相交轴线平行的长方形，并为每$i=1,\dots,n$：$C_i \subseteq E_i$，即每个现有矩形都包含在一个唯一的新矩形中，如下所示：

查找具有小的矩形保留分区的算法是什么？$N$

特别是，是否有一种算法可以找到部分的矩形保留分区？$N=O(n)$

新答案：以下简单算法是渐近最优的：

任意拉伸每个矩形，以最大可能的程度，以使矩形保持成对不相交的形式。$C_i$

孔的数量最多为。这是渐近最佳的，因为存在其中孔的数量至少为。$k-2$$k-O(\sqrt k)$

证明在本文中。

旧答案：

以下算法虽然不是最佳算法，但显然足以找到具有部分的矩形保留分区。$N=O(n)$

该算法具有直线多边形，它被初始化为矩形。$P$$C$

阶段1：选择一个矩形的邻近的西边界（即，没有其他矩形西侧之间和的西边界）。将放在内并拉伸，直到它触及的西边界。令（对于）为的扩展版本。令。重复阶段1次，直到所有$C_i$$P$$C_j$$C_i$$P$$C_i$$P$$P$$E_i$$i=1,\dots,n$$C_i$$P=P\setminus E_i$$n$$n$原始矩形被放置并拉伸。在下图中，放置矩形的可能顺序为：$C_1,C_2,C_4,C_3$

现在，是一个直线多边形（可能是断开的），如下所示：$P$

我宣称的数目凹顶点在至多是。这是因为，每当从删除拉伸矩形时，就有3种可能性：$P$$2n$$P$

• 添加了2个新的凹形顶点（例如放置）；$C_1,C_4$
• 添加了3个新的凹形顶点，并删除了1个（类似于）；$C_3$
• 添加了4个新的凹顶点，并移除了2个（与）。$C_2$

第2阶段：分区到使用现有的算法轴线平行的矩形（参见Keil的2000年，10-13页和Eppstein的2009，页3-5综述）。$P$

Keil引用了一个定理，该定理说最小分区中的矩形数量以1 +凹顶点的数量为界。因此，在我们的情况下，该数目最多，分区中矩形的总数为。$2n+1$$N\leq 3n+1$

此算法不是最佳算法。例如，在上面的示例中，它给出了而最优解的结果是。因此，还有两个问题：$N=13$$N=5$

答：此算法正确吗？

B.是否有一个多项式时间算法来找到最佳，或者至少是一个更好的近似值？$N$