扩展欧几里得算法中的“溢出”

抱歉，如果我误会问这个问题的地方（也许我应该去stackoverflow.com/mathoverflow.net？）。

我想知道是否有证据证明在评估扩展的欧几里得算法时，Bézout的系数（即s和t的身份为 + bt = gcd（a，b））不会超过一些合理的值（取决于a，b，我猜）。特别是在某些通用编程语言上的实现，我对程序的溢出正确性感兴趣。

确切地说，我可以提到我使用Victor Shoup对算法的描述（可从他的主页上免费获得他的书中的“ 4.2 数论和代数的计算导论 ”中的4.2 ）。

ds.algorithms nt.number-theory

— Artem Pelenitsyn
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我认为这绝对在范围之内。

— Suresh Venkat 2010年

这被称为Bézout的恒等式/引理（不要与Bézout的代数几何定理相混淆），其中指出：

$a,b \neq 0$ $\gcd(a,b) = ax + by$ $x,y$ $|x| \leq |b|$ $|y| \leq |a|$

可以在标准代数教科书中建立证明。您也可以通过对gcd进程的迭代进行归纳来证明自己。

通常，在每个具有乘法欧几里德函数欧几里德域都是如此。在这里，当，我们有这是乘法的。 $R$ $f$ $R = \mathbf{Z}$ $f(x) = |x|$

— 张显之张显之
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您引用了Wikipedia，但没有这样的词：“此外，我们可能会假设...”。您能给一些“标准代数教科书”命名吗？我看了罗特曼的第一本抽象代数课程：有Eucl的描述。算法，但是在系数上没有这样的界限。Shoup的书中也有同样的故事，我在自己的帖子中也提到过。

— Artem Pelenitsyn

尝试定理2.5的书中Keijo Ruohonen，math.tut.fi/~ruohonen/MC.pdf。如果我的记念是对的，弗雷恩（Fleign）的书在正文或练习中都有引理。amazon.com/First-Course-Abstract-Algebra-7th/dp/0201763907

— 张显之张显之之

可以概括吗？说存在的解决方案，使得？

gcd (a_{1}, \dots, a_{n}) = \sum_{i} x_{i} a_{i}

$\gcd(a_1,\ldots,a_n) = \sum_{i} x_ia_i$

\sum_{i} | x_{i} | \leq \sum_{i} | a_{i} |

$\sum_{i}|x_i|\leq \sum_{i}|a_i|$

— 赵超